Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2021

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|2|0)$, $D(0|2|0)$ und $S(1|1|4)$. Die Grundfläche $ABCD$ ist quadratisch.

Die Ebene mit der Gleichung $x_3 = 1$ schneidet die vier vom Punkt $S$ ausgehenden Kanten der Pyramide $ABCDS$ in den Punkten $E$, $F$, $G$ und $H$ (vgl. Abbildung). Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $ABCD$ wird mit $T$ bezeichnet.

a)

Begründen Sie, dass die Pyramide $ABCDS$ gerade ist, und berechnen Sie den Inhalt ihrer Oberfläche.

b)

Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenfläche $ABS$ gegenüber der Grundfläche $ABCD$.

°

c)

Der Mittelpunkt der Kante $\overline{CD}$ wird mit $M$ bezeichnet. Untersuchen Sie, ob es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{DS}$ gibt, für den das Dreieck $BMP$ rechtwinklig ist.

e)

Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide $EFGHT$.