Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2021

1 Aufgabe

Die Eckpunkte eines Holzkörpers werden durch $A(0|0|0)$, $B(10|0|0)$, $C(10|10|0)$, $D(0|10|0)$ und $E(0|10|6)$ dargestellt (vgl. Abbildung). Die Punkte B, D und E liegen im Modell in der Symmetrieebene des Körpers.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Realität.

a)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $BCE$ rechtwinklig ist, und berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Holzkörpers.

c)

Die quadratische Grundfläche des Holzkörpers schließt mit der Seitenfläche, die durch das Dreieck $BCE$ dargestellt wird, einen Winkel ein. Berechnen Sie die Größe dieses Winkels.

d)

Der Holzkörper soll mit einer möglichst kurzen Linie versehen werden, die im Modell vom Eckpunkt $A$ über die Kante $\overline{BE}$ zum Punkt $C$ verläuft. Die Länge dieser Linie in Zentimetern kann folgendermaßen ermittelt werden:

$$P(10-10t \mid 10t \mid 6t)$$

$$\vec{PC} \circ \vec{PB} = 0 \iff t = \frac{25}{59}$$

$$2 \cdot |\vec{PC}| \approx 15{,}2$$

Erläutern Sie dieses Vorgehen.

f)

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Körpers $ABCDEF$ größer ist als das Volumen des Körpers $ABCDE$, ohne für diese Volumina konkrete Werte zu berechnen.