Abitur NRW Mathematik 2024 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon t \mapsto 25 - 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in $^{\circ}\text{C}$. Die Raumtemperatur beträgt konstant $25\,^{\circ}\text{C}$.

a)

Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12 °C beträgt.

d)

Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:

Aus $f(t) = \frac{f(0) + 25}{2}$ ergibt sich $t \approx 49{,}5$.

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung.

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon t \mapsto 25 - 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in $^{\circ}\text{C}$. Die Raumtemperatur beträgt konstant $25\,^{\circ}\text{C}$.

b)

Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:

(1) $f'(30)$

(2) $\frac{f(30)-f(0)}{30-0}$

c)

Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:

Es gibt eine Konstante $c$, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$-Fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1 - x^2) \cdot e^x$. Der Graph von $h$ wird mit $G_h$ bezeichnet.

a

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h(x)$ nur für $-1 < x < 1$ positiv ist.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1 - x^2) \cdot e^x$. Der Graph von $h$ wird mit $G_h$ bezeichnet.

b

Die Gerade $u$ ist die Tangente an $G_h$ im Punkt $(0 \mid 1)$. Es gibt genau eine Tangente $v$ an $G_h$, die zu $u$ senkrecht ist. Geben Sie die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von $v$ an und erläutern Sie diese.

c

Berechnen Sie die Wendestellen von $h$. In einem der Wendepunkte von $G_h$ ist die Steigung von $G_h$ maximal. Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung.

d

Für $0 < w < 1$ wird das Dreieck mit den Eckpunkten $(0 \mid 0)$, $(w \mid 0)$ und $(w \mid h(w))$ betrachtet. Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1 - x^2) \cdot e^x$. Der Graph von $h$ wird mit $G_h$ bezeichnet.

e

$G_h$ schließt mit der x-Achse eine Fläche $A$ ein. Es gibt genau einen Punkt $P$ auf $G_h$ mit positiver x-Koordinate, sodass die Gerade durch die Punkte $O(0 \mid 0)$ und $P$ die Fläche $A$ in zwei Flächenstücke gleichen Inhalts teilt.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der die x-Koordinate von $P$ bestimmt werden kann, und veranschaulichen Sie den Aufbau der Gleichung anhand einer Skizze.

1 Aufgabe

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{1000} \cdot x^4 - \frac{8}{100} \cdot x^3 + \frac{6}{10} \cdot x^2$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \left| -\frac{5}{8} \right.\right)$.

a

Der Graph von $f$ besitzt den Tiefpunkt $(0|0)$. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt.

[3 BE]

Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q\left(-\frac{1}{4}\middle|-1\right)$ wird mit $t$ bezeichnet.

b

Ermitteln Sie eine Gleichung von $t$ und weisen Sie rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$ ist.

[4 BE]

(zur Kontrolle: Gleichung von $t$: $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{8}$)

d

Skizzieren Sie in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$, die die y-Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben.

[3 BE]

1 Aufgabe

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{1000} \cdot x^4 - \frac{8}{100} \cdot x^3 + \frac{6}{10} \cdot x^2$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \left| -\frac{5}{8} \right.\right)$.

Der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

[5 BE]

1 Aufgabe

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{1000} \cdot x^4 - \frac{8}{100} \cdot x^3 + \frac{6}{10} \cdot x^2$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \left| -\frac{5}{8} \right.\right)$.

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden. Der Punkt $(12|12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10|10)$ des Graphen von $f$ erzeugt und für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $g(x) = a \cdot f(b \cdot x)$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$.

Geben Sie in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an und berechnen Sie die Werte von $a$ und $b$.

[4 BE]

2

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer A beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer B beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer A in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer B wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{1}{576} \cdot x^4 - \frac{1}{18} \cdot x^3 + \frac{1}{2} \cdot x^2$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

a)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Radfahrer A drei Sekunden nach dem Start sowie den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von $8\text{ Meter pro Sekunde}$ erreicht.

c)

Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider Radfahrer gleich groß sind. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit $x_s$ bezeichnet.

Bestimmen Sie rechnerisch $x_s$.

2

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer A beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer B beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer A in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer B wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{1}{576} \cdot x^4 - \frac{1}{18} \cdot x^3 + \frac{1}{2} \cdot x^2$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

b)

Ermitteln Sie die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer B ab dem Zeitpunkt $12\text{ Sekunden}$ nach dem Start bewegt.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass der zum Radfahrer B gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle $12$ keinen Knick aufweist.

d)

Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt. Geben Sie die Bedeutung von $d(x)$ für $0 < x < x_s$ im Sachzusammenhang an und interpretieren Sie das Ergebnis $0{,}37$.

$$d(x) = f(x) - h(x)$$$$d'(x) = 0\text{ hat für }0 < x < x_s\text{ nur die Lösung }x_1 \approx 3{,}64$$$$d''(x_1) \approx -0{,}13 < 0$$$$d(x_1) \approx 0{,}37$$

2

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer A beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer B beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer A in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer B wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{1}{576} \cdot x^4 - \frac{1}{18} \cdot x^3 + \frac{1}{2} \cdot x^2$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

e)

Es gibt genau einen Zeitpunkt in den ersten $10\text{ Sekunden}$ nach dem Start, zu dem einer der beiden Radfahrer den anderen überholt. Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Geschwindigkeit des schnelleren Radfahrers die Geschwindigkeit des langsameren Radfahrers zum Zeitpunkt des Überholens übersteigt.