Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2021

Im Längsschnitt eines Berghangs kann dessen Profillinie für $-5 \le x \le 4$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{1}{4} \cdot f\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)$, d. h. $h(x) = \frac{1}{1024} \cdot (8 + x) \cdot (4 - x)^3$, beschrieben werden. Es soll davon ausgegangen werden, dass der Hang in Querrichtung nicht geneigt ist. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.

a

Der Hochpunkt des Graphen von $h$ hat die $x$-Koordinate $-5$. Geben Sie die zugehörige $y$-Koordinate an und stellen Sie die Profillinie des Hangs in einem Koordinatensystem graphisch dar.

b

Beschreiben Sie, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden kann.

c

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt des Hangs etwa $214\text{ m}$ beträgt. Ermitteln Sie das durchschnittliche Gefälle zwischen diesen beiden Punkten in Prozent.

%