Abitur Hessen Mathematik 2021 · LK · CAS

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$. Der Graph der Funktion $f$ ist ein Halbkreis.

1.1

Begründen Sie, dass $f$ nur für $x \in [-3;3]$ definiert ist. (1 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$. Der Graph der Funktion $f$ ist ein Halbkreis.

1.2

Der Graph von $f$ rotiert im Intervall $[-3;3]$ um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers und beschreiben Sie seine Form. (4 BE)

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(3|a|-4)$, $C(0|2a|0)$ und $D(-3|a|4)$ mit $a \neq 0$.

2.1

Die Punkte $A$, $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E: 4x + 3z = 0$. Bestätigen Sie, dass auch der Punkt $D$ in $E$ liegt. (1 BE)

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(3|a|-4)$, $C(0|2a|0)$ und $D(-3|a|4)$ mit $a \neq 0$.

2.2

Zeigen Sie, dass es sich bei dem Viereck $ABCD$ um eine Raute handelt.

(2 BE)

2.3

Ermitteln Sie diejenigen Werte für $a$, für welche das Viereck $ABCD$ ein Quadrat ist.

(2 BE)

Stochastik – Niveau 1

3 In einem Behälter befinden sich 100 Würfel, von denen 95 fair und 5 gezinkt sind, wobei faire und gezinkte Würfel äußerlich nicht zu unterscheiden sind. Bei einem Test wird ein fairer Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % als gezinkt eingestuft und ein gezinkter Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % als gezinkt eingestuft.

3.1

Zeigen Sie, dass ein zufällig herausgegriffener Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von 9,5 % als gezinkt eingestuft wird. [3 BE]

3.2

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig herausgegriffener Würfel, der als gezinkt eingestuft wird, fair ist. [2 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 2

Ein Lieferservice bietet unter anderem die Pizzasorten Pizza Margherita (Preis $x$), Pizza Hawaii (Preis $y$) und Pizza Speciale (Preis $z$) an. Die Preise sind jeweils ganzzahlige Eurobeträge.

Aus zwei Bestellungen lässt sich folgendes Gleichungssystem aufstellen:

$$\begin{vmatrix} x + 3y + 2z = 39 \\ 2x + 2y + z = 30 \end{vmatrix}$$

4.1

Ermitteln Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

[mögliches Ergebnis: $\mathbb{L} = \{(3 + 0{,}25c \mid 12 - 0{,}75c \mid c) \mid c \in \mathbb{R}\}$]

[3 BE]

Geben Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit vom Parameter $c$ an ($z = c$):

$x(c) =$

$y(c) =$

4.2

Untersuchen Sie, ob sich die Preise der einzelnen Pizzen eindeutig bestimmen lassen, wenn Pizza Speciale am teuersten und Pizza Margherita am günstigsten ist.

[2 BE]

Ja

Nein

Pizza Margherita ($x$):

€

Pizza Hawaii ($y$):

€

Pizza Speciale ($z$):

€

Eine weitere Modellierung der Bakterienzahl in Abhängigkeit von der Zeit $t$ wird beschrieben durch die Funktion $h$. Dabei bedeutet:

$t$: Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn

$h(t)$: Anzahl der Bakterien in 1000

Gegeben ist die Ableitungsfunktion $h'$ der Funktion $h$ durch

$$h'(t) = 15000 \cdot k \cdot \frac{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}}{\left(\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 24\right)^2}, \quad k > 0.$$

Aufgabe 1

Blaualgen (oder auch Cyanobakterien) kommen in Gewässern wie z. B. in Badeseen vor. Sie vermehren sich vor allem bei hohen Wassertemperaturen in den Sommermonaten besonders schnell. Das kann für Badegäste an einem Badesee unangenehme Folgen haben: Neben dem Geruch nach Ammoniak kann es auch zu allergischen Reaktionen kommen.

Um die Situation der Badeseen besser einschätzen zu können, erhielten Forscher den Auftrag, das Vermehrungsverhalten der Blaualgen zu untersuchen. Dazu beobachteten sie einen Tag lang das Vermehrungsverhalten der Blaualgen in einer Petrischale bei einer Umgebungstemperatur von 21°C. Zu Beobachtungsbeginn befanden sich 1000 Bakterien in der Petrischale. Die Messwerte sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Zeit [in Stunden nach Beobachtungsbeginn] · 0 · 1 · 6 · 12 · 16 · 24

Anzahl der Bakterien · 1000 · 1300 · 3900 · 11400 · 17300 · 23000

1.1

Berechnen Sie jeweils die durchschnittliche Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde in den fünf aufeinanderfolgenden Zeitintervallen und beschreiben Sie die Veränderung der durchschnittlichen Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde. [6 BE]

Bakterien pro Stunde

Bakterien pro Stunde

Bakterien pro Stunde

Bakterien pro Stunde

Bakterien pro Stunde

1.2

Die Messwerte sollen durch eine geeignete Funktion modelliert werden. Dazu stehen zwei Funktionen $f$ und $g$ mit den folgenden Funktionsgleichungen zur Verfügung:

$f(t) = 0{,}011 \cdot t^5 - 0{,}722 \cdot t^4 + 13{,}21 \cdot t^3 - 27{,}62 \cdot t^2 + 315{,}1 \cdot t + 1000,\quad t \in [0; 24]$

$g(t) = -3{,}673 \cdot t^3 + 135{,}8 \cdot t^2 - 234{,}9 \cdot t + 1185,\quad t \in [0; 24]$

Hierbei gibt $t$ jeweils die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn an und $f(t)$ bzw. $g(t)$ die Anzahl der Bakterien.

Untersuchen Sie, welche der beiden Funktionen zur Modellierung der Messwerte besser geeignet ist. [4 BE]

1.3

Berechnen Sie mithilfe der Messwerte in der Tabelle die durchschnittliche Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde im Intervall $[6; 16]$ und ermitteln Sie jeweils diejenigen Stellen im Intervall $[6; 16]$, an denen die Funktion $f$ bzw. die Funktion $g$ genau diese Änderungsrate aufweist. Deuten Sie den Sachverhalt geometrisch. [7 BE]

Bakterien pro Stunde

1.4

Erläutern Sie unter Zuhilfenahme des Materials die Zeilen (1) bis (3) im Kasten und deuten Sie die rechte Seite der Äquivalenz in Zeile (4) geometrisch. [7 BE]

$q$ ist eine differenzierbare Funktion und $[a; b]$ ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs von $q$. $P(a \mid q(a))$ und $Q(b \mid q(b))$ sind Punkte des Graphen von $q$.

(1) $s(x) = \frac{q(b) - q(a)}{b - a} \cdot (x - b) + q(b) \implies s(a) = q(a)$ und $s(b) = q(b)$

(2) $d(x) = q(x) - s(x)$

(3) $d'(x) = q'(x) - \frac{q(b) - q(a)}{b - a}$

(4) $d'(x_z) = 0 \iff q'(x_z) = \frac{q(b) - q(a)}{b - a}$

Eine weitere Modellierung der Bakterienzahl in Abhängigkeit von der Zeit $t$ wird beschrieben durch die Funktion $h$. Dabei bedeutet:

$t$: Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn

$h(t)$: Anzahl der Bakterien in 1000

Gegeben ist die Ableitungsfunktion $h'$ der Funktion $h$ durch

$$h'(t) = 15000 \cdot k \cdot \frac{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}}{\left(\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 24\right)^2}, \quad k > 0.$$

Aus den Funktionen $f$ und $g$ aus Aufgabe 1.2 werden die Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_3$ mit $f_1(t) = f(t) - g(t)$, $f_2(t) = |f(t) - g(t)|$ und $f_3(t) = (f(t) - g(t))^2$ gebildet.

2.1

Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_3$ im Intervall $[0; 24]$.

2.2

Ermitteln Sie jeweils den Wert des Terms $\frac{1}{24} \int_{0}^{24} f_1(t)\,\mathrm{d}t$ und $\frac{1}{24} \int_{0}^{24} f_2(t)\,\mathrm{d}t$ und geben Sie jeweils (ohne Bezug zum Sachzusammenhang) die Bedeutung dieses Wertes an.

Eine weitere Modellierung der Bakterienzahl in Abhängigkeit von der Zeit $t$ wird beschrieben durch die Funktion $h$. Dabei bedeutet:

$t$: Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn

$h(t)$: Anzahl der Bakterien in 1000

Gegeben ist die Ableitungsfunktion $h'$ der Funktion $h$ durch

$$h'(t) = 15000 \cdot k \cdot \frac{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}}{\left(\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 24\right)^2}, \quad k > 0.$$

Bestimmen Sie $k$ so, dass zu Beobachtungsbeginn 1000 Bakterien und nach 24 Stunden 23595 Bakterien vorhanden sind.

Eine weitere Modellierung der Bakterienzahl in Abhängigkeit von der Zeit $t$ wird beschrieben durch die Funktion $h$. Dabei bedeutet:

$t$: Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn

$h(t)$: Anzahl der Bakterien in 1000

Gegeben ist die Ableitungsfunktion $h'$ der Funktion $h$ durch

$$h'(t) = 15000 \cdot k \cdot \frac{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}}{\left(\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 24\right)^2}, \quad k > 0.$$

3.2

Zeigen Sie rechnerisch, dass sich die gegebene Ableitungsfunktion $h'$ auch durch die Gleichung $h'(t) = 15000\cdot k\cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 48 + 576\cdot \mathrm{e}^{-25\cdot k\cdot t}}$ darstellen lässt.

Begründen Sie anhand des Terms $h'(t)$, dass $\lim_{t\to\infty}(h'(t)) = 0$ gilt, und erläutern Sie im Sachzusammenhang, was dieses Ergebnis für die Funktion $h$ bedeutet.

3.3

Bestimmen Sie $k$ so, dass die Funktion $h$ für $t = 12$ am stärksten wächst.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a;k}$ mit $f_{a;k}(x) = a \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$, $a > 0$, $k > 0$.

1.1

Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen von $f_{a;k}$ und geben Sie die verwendeten Ableitungsregeln an. Dabei darf die zweite Ableitung $f_{a;k}''(x) = a \cdot (k^2 \cdot x^2 - 4 \cdot k \cdot x + 2) \cdot e^{-k \cdot x}$ ohne Nachweis verwendet werden. [11 BE]

1.2

Der Hochpunkt des Graphen von $f_{a;k}$ hat die Koordinaten $H\left(\frac{2}{k} \;\middle|\; \frac{4a}{k^2 \cdot e^2}\right)$.

Begründen Sie, dass für einen festen Wert von $k$ alle Hochpunkte auf einer Parallelen zur y-Achse liegen.

Für einen festen Wert von $a$ liegen alle Hochpunkte auf einer Parabel mit der Gleichung $p_a(x) = \frac{a}{e^2} \cdot x^2$. Leiten Sie diese Gleichung her und skizzieren Sie die Parabel für $a = 1$ in der Abbildung in Material 1. [6 BE]

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a;k}$ mit $f_{a;k}(x) = a \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$, $a > 0$, $k > 0$.

1.3 Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $k$ für diejenige Funktion der Schar $f_{a;k}$, die an der Stelle $x = 2$ den Funktionswert $828$ und an der Stelle $x = 11$ den Funktionswert $4142$ annimmt.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a;k}$ mit $f_{a;k}(x) = a \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$, $a > 0$, $k > 0$.

Ein Sportartikelhersteller bringt ein neues Modell eines Laufschuhs auf den Markt. Die Wochen nach Verkaufsstart werden durchnummeriert und es wird für jede Woche die Anzahl der verkauften Paare des neuen Modells ermittelt. Seit Verkaufsstart sind 14 Wochen vergangen. Die Kreuze in Material 2 zeigen die Verkaufszahlen für den genannten Zeitraum.

Eine gute Modellierung des Verlaufs der Verkaufszahlen liefert die Scharfunktion $f_{309;0{,}2}$ mit $f_{309;0{,}2}(x) = 309 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}2 \cdot x}$, deren Graph in Material 3 eingezeichnet ist.

Nach den ersten 14 Wochen liegen insgesamt noch etwa 36000 Schuhpaare des neuen Modells auf Lager und der Hersteller möchte wissen, ob diese reichen werden, oder ob weitere Schuhe produziert werden müssen. Um diese Frage zu beantworten, soll eine auf der Integralrechnung basierende Methode entwickelt werden, die es ermöglicht, die Verkaufszahlen näherungsweise zu berechnen und Prognosen für die Zukunft zu erstellen.

2.1

In der 1. Woche wurden 288, in der 2. Woche 828, in der 3. Woche 1612 und in der 4. Woche 2164 Schuhpaare des neuen Modells verkauft, also 4892 Schuhpaare insgesamt. Hierfür liefert die Summe $f_{309;0{,}2}(1) + f_{309;0{,}2}(2) + f_{309;0{,}2}(3) + f_{309;0{,}2}(4)$ einen guten Näherungswert. Bestimmen Sie diese Summe und zeigen Sie, dass die prozentuale Abweichung dieses Näherungswertes von der tatsächlichen Verkaufszahl weniger als 1,5 % beträgt.

%

2.2

Die Summe der vier Funktionswerte aus Aufgabe 2.1 lässt sich als Gesamtflächeninhalt von vier Rechtecken darstellen. Diese vier Rechtecke sind in den Abbildungen A und B in Material 4 jeweils zusammen mit dem Graphen der Funktion $f_{309;0{,}2}$ dargestellt. Der Flächeninhalt der vier Rechtecke – und somit auch die Anzahl der in den ersten vier Wochen verkauften Schuhpaare – lässt sich durch den Inhalt einer Fläche unter dem Graphen von $f_{309;0{,}2}$ sehr gut approximieren.

2.2.1 Bestimmen Sie (mit Hilfe des CAS) die Werte der beiden Integrale $\int_{0{,}5}^{4{,}5} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$ und $\int_{0}^{4} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$.

2.2.2 Begründen Sie anschaulich mit Hilfe von Material 4, warum das Integral $\int_{0{,}5}^{4{,}5} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$ eine sehr gute, das Integral $\int_{0}^{4} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$ hingegen eine weniger gute Approximation für die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke darstellt.

2.3

Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl $n$, für die $\int_{14{,}5}^{n+0{,}5} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x \ge 18000$ gilt, und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

2.4

Bestimmen Sie den Grenzwert $\lim_{u \to \infty} \int_{14{,}5}^{u} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang unter Berücksichtigung der vom Sportartikelhersteller aufgeworfenen Frage.

Ein Sommerschuh wird seit vielen Jahren erfolgreich verkauft, wobei die Verkaufszahlen saisonalen Schwankungen unterliegen. Die Wochen nach dem Verkaufsstart des Schuhs werden analog zu Aufgabe 2 durchnummeriert. Am Ende jeder Woche wird die Gesamtzahl der bis dahin verkauften Schuhpaare ermittelt.

Die Gesamtverkaufszahlen für den Sommerschuh werden in sehr guter Näherung durch die Funktion $V$ mit $V(x) = 300x - 2000 \cdot \sin(0{,}1205 \cdot x)$ modelliert, deren Graph in Material 5 dargestellt ist.

Material 5

Gesamtverkaufszahlen des Sommerschuhs seit Verkaufsstart

3.1

In einer Sonderaktion erhält der Käufer des zehntausendsten Schuhpaars einen Bonus-Gutschein. Ermitteln Sie, in der wievielten Woche dieser Preis vergeben wird.

[3 BE]

. Woche

3.3

Bestimmen Sie den Grenzwert $\lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{1}{x} \cdot V(x)\right)$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

[4 BE]

Ein Sommerschuh wird seit vielen Jahren erfolgreich verkauft, wobei die Verkaufszahlen saisonalen Schwankungen unterliegen. Die Wochen nach dem Verkaufsstart des Schuhs werden analog zu Aufgabe 2 durchnummeriert. Am Ende jeder Woche wird die Gesamtzahl der bis dahin verkauften Schuhpaare ermittelt.

Die Gesamtverkaufszahlen für den Sommerschuh werden in sehr guter Näherung durch die Funktion $V$ mit $V(x) = 300x - 2000 \cdot \sin(0{,}1205 \cdot x)$ modelliert, deren Graph in Material 5 dargestellt ist.

Material 5

Gesamtverkaufszahlen des Sommerschuhs seit Verkaufsstart

3.2

Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion $V'$.

Begründen Sie, dass $59 \leq V'(x) \leq 541$ gilt, und erläutern Sie die Bedeutung der Grenzen 59 und 541 des Wertebereiches von $V'$ im Sachzusammenhang.

[6 BE]

$V'(x) =$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die „Puerta de Europa“ in Madrid besteht aus zwei einander zugeneigten Türmen (Material 1), die jeweils die Form eines Spats aufweisen. Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, wobei jeweils gegenüberliegende Flächen kongruent und parallel zueinander sind.

Im Modell liegen die Bodenflächen beider Türme in der $x$-$y$-Ebene, die den Erdboden beschreibt. Die Dachflächen liegen in einer Ebene, die parallel zur $x$-$y$-Ebene verläuft, die Nord- und Südwände liegen jeweils in einer Ebene, die parallel zur $y$-$z$-Ebene verläuft. Die (positive) $x$-Achse zeigt in Richtung Süden, die (positive) $y$-Achse in Richtung Osten.

Die Türme haben jeweils eine Höhe von $114\text{ m}$. Der Ostturm hat unter anderem die Eckpunkte $A(1{,}75|6|0)$, $B(1{,}75|9{,}5|0)$, $D(-1{,}75|6|0)$ und $E(1{,}75|2{,}9|11{,}4)$.

Eine Längeneinheit entspricht dabei $10\text{ m}$.

1.1

Die Eckpunkte $A$, $B$ und $D$ begrenzen gemeinsam mit einem Punkt $C$ die quadratische Bodenfläche des Ostturms. Geben Sie den Eckpunkt $C$ an und bestimmen Sie den Flächeninhalt der Bodenfläche des Ostturms.

[4 BE]

1.2

Im Koordinatensystem in Material 2 ist die Dachfläche des Ostturms eingezeichnet. Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte $F$, $G$ und $H$ des Ostturms an. Zeichnen Sie den gesamten Ostturm in das Koordinatensystem ein.

[7 BE]

1.3

Zeigen Sie, dass der Neigungswinkel des Ostturms (in westlicher Richtung) gegenüber der Vertikalen etwa $15^\circ$ beträgt.

[3 BE]

2.1

Im Modell entspricht der Westturm einer Spiegelung des Ostturms an der x-z-Ebene.

Geben Sie eine Spiegelmatrix $S$ an, mit deren Hilfe man für einen beliebigen Punkt $P$ des Ostturms mit Hilfe der Gleichung $\vec{OP}' = S \cdot \vec{OP}$ den entsprechenden (gespiegelten) Punkt des Westturms ermitteln kann.

[3 BE]

2.2

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $A'$ des Westturms und geben Sie an, wie weit die beiden Türme am Boden voneinander entfernt sind.

[4 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die „Puerta de Europa“ in Madrid besteht aus zwei einander zugeneigten Türmen (Material 1), die jeweils die Form eines Spats aufweisen. Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, wobei jeweils gegenüberliegende Flächen kongruent und parallel zueinander sind.

Im Modell liegen die Bodenflächen beider Türme in der $x$-$y$-Ebene, die den Erdboden beschreibt. Die Dachflächen liegen in einer Ebene, die parallel zur $x$-$y$-Ebene verläuft, die Nord- und Südwände liegen jeweils in einer Ebene, die parallel zur $y$-$z$-Ebene verläuft. Die (positive) $x$-Achse zeigt in Richtung Süden, die (positive) $y$-Achse in Richtung Osten.

Die Türme haben jeweils eine Höhe von $114\text{ m}$. Der Ostturm hat unter anderem die Eckpunkte $A(1{,}75|6|0)$, $B(1{,}75|9{,}5|0)$, $D(-1{,}75|6|0)$ und $E(1{,}75|2{,}9|11{,}4)$.

Eine Längeneinheit entspricht dabei $10\text{ m}$.

3 Beide Türme haben jeweils 26 Etagen, die alle die gleiche Höhe besitzen. Um die Etagen eines Turms mit einem Aufzug zu erreichen, wäre ein vertikaler Aufzugsschacht notwendig.

Zeigen Sie, dass es möglich ist, alle Etagen eines Turms mit nur einem am Boden beginnenden durchgängigen Aufzugsschacht zu erreichen, der in Nord-Süd-Richtung und in Ost-West-Richtung jeweils $3\text{ m}$ misst. Die Deckenstärken der Etagen und die Wandstärken der Außenwände sollen hierbei vernachlässigt werden.

[6 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die „Puerta de Europa“ in Madrid besteht aus zwei einander zugeneigten Türmen (Material 1), die jeweils die Form eines Spats aufweisen. Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, wobei jeweils gegenüberliegende Flächen kongruent und parallel zueinander sind.

Im Modell liegen die Bodenflächen beider Türme in der $x$-$y$-Ebene, die den Erdboden beschreibt. Die Dachflächen liegen in einer Ebene, die parallel zur $x$-$y$-Ebene verläuft, die Nord- und Südwände liegen jeweils in einer Ebene, die parallel zur $y$-$z$-Ebene verläuft. Die (positive) $x$-Achse zeigt in Richtung Süden, die (positive) $y$-Achse in Richtung Osten.

Die Türme haben jeweils eine Höhe von $114\text{ m}$. Der Ostturm hat unter anderem die Eckpunkte $A(1{,}75|6|0)$, $B(1{,}75|9{,}5|0)$, $D(-1{,}75|6|0)$ und $E(1{,}75|2{,}9|11{,}4)$.

Eine Längeneinheit entspricht dabei $10\text{ m}$.

4 Vor einigen Jahren plante man, auf dem südlichen Vorplatz der beiden Türme einen Obelisken zu errichten. Ein Obelisk ist ein nach oben schmaler werdender Pfeiler. Der Mittelpunkt $P$ seiner Grundfläche sollte so auf dem Erdboden platziert werden, dass er mit den Mittelpunkten der Bodenflächen der Türme ein gleichseitiges Dreieck bildet. Bestimmen Sie die Koordinaten des zur Umsetzung dieser Planung benötigten Punktes $P$ in der x-y-Ebene.

[8 BE]

$P($

$\mid$

$\mid$

$)$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die „Puerta de Europa“ in Madrid besteht aus zwei einander zugeneigten Türmen (Material 1), die jeweils die Form eines Spats aufweisen. Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, wobei jeweils gegenüberliegende Flächen kongruent und parallel zueinander sind.

Im Modell liegen die Bodenflächen beider Türme in der $x$-$y$-Ebene, die den Erdboden beschreibt. Die Dachflächen liegen in einer Ebene, die parallel zur $x$-$y$-Ebene verläuft, die Nord- und Südwände liegen jeweils in einer Ebene, die parallel zur $y$-$z$-Ebene verläuft. Die (positive) $x$-Achse zeigt in Richtung Süden, die (positive) $y$-Achse in Richtung Osten.

Die Türme haben jeweils eine Höhe von $114\text{ m}$. Der Ostturm hat unter anderem die Eckpunkte $A(1{,}75|6|0)$, $B(1{,}75|9{,}5|0)$, $D(-1{,}75|6|0)$ und $E(1{,}75|2{,}9|11{,}4)$.

Eine Längeneinheit entspricht dabei $10\text{ m}$.

5 An einem Tag im März 2021 scheint die Sonne um 13.30 Uhr näherungsweise aus südlicher Richtung auf die Puerta de Europa und den inzwischen im Mittelpunkt P der Grundfläche aus Aufgabe 4 errichteten, $93\text{ m}$ hohen Obelisken. Die Spitze des Obelisken liegt in vertikaler Richtung genau oberhalb des Punktes P. Der Vektor

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 + 0{,}2t \\ 0{,}5t \\ -1{,}2 + 0{,}2t \end{pmatrix}$$

beschreibt für einen sehr eng begrenzten Zeitraum in guter Näherung die Richtung der Sonnenstrahlen. Der Parameter $t$ steht dabei für die Zeit nach 13.30 Uhr in Stunden. Es gilt $0 \le t \le 2$.

5.1

Berechnen Sie den Winkel, in dem die Sonnenstrahlen um 13.30 Uhr auf den Erdboden treffen und den Schattenpunkt der Spitze des Obelisken auf dem Erdboden zu dieser Uhrzeit.

[Hinweis: Sollten Sie die Koordinaten des Punktes P in Aufgabe 4 nicht bestimmt haben, verwenden Sie stattdessen den Ersatzpunkt $P^*(13{,}5 \mid 0 \mid 0)$.]

[8 BE]

°

$S_{\text{Obelisk}}($

$\mid$

$\mid$

$)$

5.2

Berechnen Sie die Matrix, die den Schattenwurf eines beliebigen Punktes $Q(x \mid y \mid z)$ mit $z \ge 0$ auf die x-y-Ebene für den durch den Definitionsbereich für $t$ gegebenen Zeitraum beschreibt.

[7 BE]

Stochastik

Bei der Aussaat von Raps können Landwirte aus verschiedenen Sorten mit jeweils spezifischen Eigenschaften wählen. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass ein Landwirt Saatgut einer Sorte A ausgebracht hat, die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % keimt.

1.1

Es werden dem Boden zufällig einige Körner entnommen und untersucht, ob diese gekeimt haben. Erläutern Sie die untenstehende Gleichung sowie die einzelnen Faktoren des Terms auf der rechten Seite der Gleichung in diesem Sachzusammenhang. Geben Sie den zugehörigen Zahlenwert an.

$$P(X=55) = \binom{60}{55} \cdot 0{,}95^{55} \cdot 0{,}05^5$$

Begründen Sie, warum das zugrunde gelegte mathematische Modell hier angewendet werden kann.

%

1.2

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$E_1$: Unter 80 dem Boden zufällig entnommenen Körnern haben höchstens 4 nicht gekeimt.

%

$E_2$: Unter 80 dem Boden zufällig entnommenen Körnern weicht die Anzahl der gekeimten Körner höchstens um 2 vom zu erwartenden Wert ab.

%

Stochastik

Bei der Aussaat von Raps können Landwirte aus verschiedenen Sorten mit jeweils spezifischen Eigenschaften wählen. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass ein Landwirt Saatgut einer Sorte A ausgebracht hat, die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % keimt.

Der Landwirt vermutet, dass der Anteil der Samenkörner der Sorte A, die unter den vorliegenden Bedingungen keimen, niedriger ist als 95 %.

1.3.1

Entwickeln Sie einen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 5 %, mit dem bei 250 zufällig dem Boden entnommenen Körnern die Vermutung überprüft werden könnte. Formulieren Sie im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel.

Beschreiben Sie den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.

1.3.2

Bestimmen Sie mithilfe Ihrer Entscheidungsregel aus Aufgabe 1.3.1 die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art für den Fall, dass der Anteil der Körner, die gekeimt haben, tatsächlich nur 90 % beträgt.

%

Beschreiben Sie, wie die Fehlerwahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art reduziert werden könnte, obwohl das Signifikanzniveau weiterhin eingehalten werden soll.

Stochastik

Bei der Aussaat von Raps können Landwirte aus verschiedenen Sorten mit jeweils spezifischen Eigenschaften wählen. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass ein Landwirt Saatgut einer Sorte A ausgebracht hat, die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % keimt.

Betrachtet wird nun der Fall, dass der Landwirt sich für unterschiedliche Sorten entscheidet. Er sät auf $85\,\%$ seiner für Raps vorgesehenen Fläche Samenkörner der Sorte A aus Aufgabe 1. Auf der restlichen für Raps vorgesehenen Fläche sät er Samenkörner der Sorte B, die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$ keimen.

Die verwendeten Mengen an Saatgut sind hierbei proportional zur GröÔe der genutzten Flächen.

2.1

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach der Aussaat dem Boden zufällig entnommenes Korn, welches gekeimt hat, ein Korn der Sorte B ist.

(4 BE)

2.2

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach der Aussaat dem Boden zufällig entnommenes Korn nicht gekeimt hat, $5{,}75\,\%$ beträgt.

(2 BE)

2.3

Eine junge Pflanze, die aus einem Samenkorn durch Keimung entsteht, wird als Sämling bezeichnet. In manchen Jahren werden diese von Schnecken angefressen. Der Landwirt stellt fest, dass insgesamt $20\,\%$ aller Rapssämlinge angefressen wurden und insbesondere, dass $30\,\%$ der Rapssämlinge der Sorte B angefressen wurden.

Erläutern Sie im Sachzusammenhang, was im Folgenden berechnet wird:

$$\frac{0{,}15 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}3}{0{,}9425 \cdot 0{,}2}$$

(4 BE)

Stochastik

Bei der Aussaat von Raps können Landwirte aus verschiedenen Sorten mit jeweils spezifischen Eigenschaften wählen. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass ein Landwirt Saatgut einer Sorte A ausgebracht hat, die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % keimt.

Aufgabe 3

Bei der Aussaat von Raps gibt es die Varianten Drillsaat und Einzelkornsaat. Bei letzterer erhofft man sich neben einer Reduzierung der benötigten Menge an Saatgut durch eine gleichmäßige Verteilung des Saatguts auf das Feld besonders gute Erträge. Die Körner werden einzeln durch eine Maschine in Reihen auf dem Feld abgelegt. Im Untersuchungsbericht eines Modellversuchs wird festgestellt, dass die Zufallsgröße $Y$: „Abstand zwischen zwei benachbarten Körnern innerhalb einer Reihe“ normalverteilt sei. Ferner habe man ermittelt, dass der Mittelwert $5\text{ cm}$ und die Standardabweichung $1{,}5\text{ cm}$ beträgt.

Bestimmen Sie jeweils, mit welcher Wahrscheinlichkeit für einen zufällig ausgewählten und gemessenen Abstand zweier benachbarter Körner gemäß dieses Untersuchungsberichts Folgendes gilt: [5 BE]

A:

%

B:

%

Aufgabe 4

Bei einer genaueren Untersuchung der Resultate einer Drillsaatmaschine, welche die Körner ungenauer und im Mittel näher beieinander ablegt, hat man die im Material dargestellten Beobachtungen zu den Abständen benachbarter Körner gemacht. Es wird die Zufallsvariable $Z$: „Abstand zwischen zwei benachbarten Körnern innerhalb einer Reihe“ betrachtet.

Material: Häufigkeitsverteilung von Kornabständen bei Drillsaat ($n = 200$)

Abstand (in cm) im Intervall · Absolute Häufigkeit

$[0; 1)$ · $60$

$[1; 2)$ · $43$

$[2; 3)$ · $30$

$[3; 4)$ · $21$

$[4; 5)$ · $15$

$[5; 6)$ · $11$

$[6; 7)$ · $8$

$[7; 8)$ · $5$

$[8; 9)$ · $4$

$[9; 10)$ · $3$

$[10; \infty)$ · $0$

4.1

Stellen Sie die Daten aus dem Material unter Verwendung der zugehörigen relativen Häufigkeiten in Form eines Säulendiagramms dar. [4 BE]

4.2

Erläutern Sie anhand der Daten, warum zur Beschreibung der Verteilung des Kornabstands $Z$ eine Exponentialfunktion $f$ der Form $f(z) = a\cdot \mathrm{e}^{-b\cdot z}$, $a, b > 0$, für $z \ge 0$ als Dichtefunktion geeignet ist. [2 BE]

4.3

Es gilt $P(0 \le Z \le u) = \int_0^u f(z)\,\mathrm{d}z = \frac{a}{b}\cdot (1 - \mathrm{e}^{-b\cdot u})$ und somit $\lim_{u \to \infty}(P(0 \le Z \le u)) = \frac{a}{b}$.

Begründen Sie, dass hieraus $a = b$ folgt, und bestätigen Sie mithilfe der relativen Häufigkeit für das Intervall $[0; 1)$, dass $a = b \approx 0{,}36$ gilt. [4 BE]

4.4

Die Verteilung des Kornabstands $Z$ wird nun für $z \ge 0$ durch die Dichtefunktion $f$ mit $f(z) = 0{,}365\cdot \mathrm{e}^{-0{,}365\cdot z}$ modelliert. Es gilt beispielsweise $P(0 \le Z \le 3) = \int_0^3 f(z)\,\mathrm{d}z \approx 66{,}55\,\%$.

Erläutern Sie die Bedeutung dieses Ergebnisses im Sachzusammenhang und prüfen Sie, ob dieser Wert in guter Näherung mit der Häufigkeitsverteilung im Material übereinstimmt. [3 BE]

Material

Im Jahr 2017 neu abgeschlossene Ausbildungsverträge nach schulischer Vorbildung (insgesamt 515 679) – aufgeteilt nach Geschlecht (männlich/weiblich)

1 im Ausland erworbener Schulabschluss, der nicht zugeordnet werden kann

basierend auf: Statistisches Bundesamt, Fachserie 11 Reihe 3; Deutsches Zentrum für Hochschul- und Wissenschaftsforschung, Berechnungen, Interaktive Grafik 2.4.34, URL: https://www.datenportal.bmbf.de/portal/de/grafik-2.4.34.html (abgerufen am 04.01.2021).

Aufgaben

1 Die Grafiken im Material zeigen für das Jahr 2017 eine Übersicht des Statistischen Bundesamtes über die neu abgeschlossenen Ausbildungsverträge nach schulischer Vorbildung, aufgeteilt nach Geschlecht.

1.1

Geben Sie mithilfe der Daten aus dem Material die sinnvoll gerundeten absoluten Häufigkeiten in der folgenden Tabelle an. Die Bezeichnungen der Merkmale lauten:

$\text{H}$: Hochschul-/Fachhochschulreife, $\quad\overline{\text{H}}$: keine Hochschul-/Fachhochschulreife

$\text{W}$: weiblich, $\quad\overline{\text{W}}$: nicht weiblich

[4 BE]

$\text{H}$

$\overline{\text{H}}$

$\Sigma$

$\text{W}$

$\overline{\text{W}}$

$\Sigma$

Im Folgenden sollen mithilfe der in der Tabelle angegebenen absoluten Häufigkeiten Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Es werden ausschließlich Personen betrachtet, die 2017 einen Ausbildungsvertrag neu abgeschlossen haben.

1.2

Eine Personalleiterin lädt 2017 eine zufällig ausgewählte Person mit Hochschul-/Fachhochschulreife zu einem Vorstellungsgespräch ein.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person nicht weiblich ist.

[3 BE]

1.3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person weiblich ist oder eine Hochschul-/Fachhochschulreife besitzt.

[3 BE]

1.4

Untersuchen Sie, ob die Wahrscheinlichkeiten $P_{\overline{\text{H}}}(\text{W})$ und $P(\text{W})$ übereinstimmen. Deuten Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

[3 BE]

Eine Personalleiterin hat 50 Personen mit Hochschul-/Fachhochschulreife zu einem Auswahlverfahren eingeladen. Von den 50 Personen sind 30 weiblich.

1.5

Für eine Gruppendiskussion werden 5 von den 50 Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter 4 weibliche Personen befinden.

[3 BE]

1.7

In einem weiteren Teil des Auswahlverfahrens stehen verschiedene Aufgaben in einem Pool zur Verfügung. Der Bewerber oder die Bewerberin zieht zwei Aufgaben aus diesem Pool, die dann zu bearbeiten sind. Dabei gibt es 435 Kombinationsmöglichkeiten. Berechnen Sie die Anzahl der Aufgaben, die sich im Pool befinden.

[5 BE]

Material

Im Jahr 2017 neu abgeschlossene Ausbildungsverträge nach schulischer Vorbildung (insgesamt 515 679) – aufgeteilt nach Geschlecht (männlich/weiblich)

1 im Ausland erworbener Schulabschluss, der nicht zugeordnet werden kann

basierend auf: Statistisches Bundesamt, Fachserie 11 Reihe 3; Deutsches Zentrum für Hochschul- und Wissenschaftsforschung, Berechnungen, Interaktive Grafik 2.4.34, URL: https://www.datenportal.bmbf.de/portal/de/grafik-2.4.34.html (abgerufen am 04.01.2021).

1.6

Im Rahmen des Auswahlverfahrens wird ein Multiple-Choice Test durchgeführt. Bei diesem Test werden genau acht Fragen gestellt. Zu jeder der Fragen gibt es vier Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man durch bloßes Raten genau 7 Fragen richtig beantwortet.

[2 BE]

Stochastik

Bei der Aussaat von Raps können Landwirte aus verschiedenen Sorten mit jeweils spezifischen Eigenschaften wählen. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass ein Landwirt Saatgut einer Sorte A ausgebracht hat, die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % keimt.

Im Folgenden sollen die in den Grafiken im Material angegebenen relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden.

2 Es werden nur die im Jahr 2017 neu abgeschlossenen Ausbildungsverträge von männlichen Personen betrachtet.

2.1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse A, B und C unter Angabe der jeweils verwendeten Zufallsgröße. Gehen Sie davon aus, dass die Zufallsgrößen binomialverteilt sind.

A: 4 von 15 zufällig ausgewählten neu abgeschlossenen Ausbildungsverträgen werden von Männern mit Hauptschulabschluss abgeschlossen.

B: Weniger als 50 von 100 zufällig ausgewählten neu abgeschlossenen Ausbildungsverträgen werden von Männern mit einem Realschul- oder vergleichbaren Abschluss abgeschlossen.

C: Mindestens 142 aber höchstens 153 von 200 zufällig ausgewählten neu abgeschlossenen Ausbildungsverträgen werden von Männern abgeschlossen, die weder eine Hochschul-/Fachhochschulreife besitzen noch einen Abschluss im Ausland erworben haben.

2.2

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $1 - (0{,}249^{10} + 0{,}751^{10})$ berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an.

2.3

In einer Umfrage werden Männer, die 2017 einen Ausbildungsvertrag neu abgeschlossen haben, zufällig ausgewählt und nach ihrer schulischen Vorbildung befragt. Berechnen Sie, wie viele Männer man mindestens befragen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80\,\%$ auf mindestens einen Mann mit Hauptschulabschluss zu treffen.

Stochastik

Bei der Aussaat von Raps können Landwirte aus verschiedenen Sorten mit jeweils spezifischen Eigenschaften wählen. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass ein Landwirt Saatgut einer Sorte A ausgebracht hat, die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % keimt.

Von den Auszubildenden, die 2017 einen Ausbildungsvertrag neu abgeschlossen haben und die Hochschul-/Fachhochschulreife erworben hatten, haben 34,9 % einen Ausbildungsvertrag im Bereich Industrie und Handel abgeschlossen.

Da der Anteil der Ausbildungsverträge im Bereich Industrie und Handel seit Jahren steigt, wird vermutet, dass im Jahr 2020 der Anteil der Auszubildenden, welche die Hochschul-/Fachhochschulreife erworben und einen Ausbildungsvertrag im Bereich Industrie und Handel abgeschlossen haben, bereits größer als 40 % ist.

Um diese Vermutung zu bestätigen, werden 150 zufällig ausgewählte Auszubildende mit der schulischen Vorbildung Hochschul-/Fachhochschulreife befragt, die 2020 einen neuen Ausbildungsvertrag abgeschlossen haben.

3.1

Entwickeln Sie einen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 10 % und formulieren Sie eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang. [7 BE]

3.2

Beschreiben Sie für den Hypothesentest aus Aufgabe 3.1 die Bedeutung des Fehlers 2. Art im Sachzusammenhang.

Bei diesem Hypothesentest soll die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art höchstens dreimal so groß sein wie das Signifikanzniveau $\alpha$. Ermitteln Sie auf drei Nachkommastellen genau, wie hoch der zur Alternativhypothese $H_1$ gehörige tatsächliche Anteil $p_1$ unter dieser Bedingung mindestens sein müsste. [5 BE]