Aufgabe Vorschlag B1 – 3.2–3.3 - Differentialrechnung · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · CAS (2021)

Aufgabenstellung

Eine weitere Modellierung der Bakterienzahl in Abhängigkeit von der Zeit tt wird beschrieben durch die Funktion hh. Dabei bedeutet:

tt: Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn

h(t)h(t): Anzahl der Bakterien in 1000

Gegeben ist die Ableitungsfunktion h′h' der Funktion hh durch

h′(t)=15000⋅k⋅e25⋅k⋅t(e25⋅k⋅t+24)2,k>0.h'(t) = 15000 \cdot k \cdot \frac{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}}{\left(\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 24\right)^2}, \quad k > 0.

3.2

Zeigen Sie rechnerisch, dass sich die gegebene Ableitungsfunktion h′h' auch durch die Gleichung h′(t)=15000⋅k⋅1e25⋅k⋅t+48+576⋅e−25⋅k⋅th'(t) = 15000\cdot k\cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 48 + 576\cdot \mathrm{e}^{-25\cdot k\cdot t}} darstellen lässt.

Begründen Sie anhand des Terms h′(t)h'(t), dass lim⁡t→∞(h′(t))=0\lim_{t\to\infty}(h'(t)) = 0 gilt, und erläutern Sie im Sachzusammenhang, was dieses Ergebnis für die Funktion hh bedeutet.

3.3

Bestimmen Sie kk so, dass die Funktion hh für t=12t = 12 am stärksten wächst.

Aufgabenstellung: Aufgabe Vorschlag B1 – 3.2–3.3 - Differentialrechnung · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

3.2 Rechnerischer Nachweis der Umformung für h′(t)h'(t)

Lösung: h′(t)=15000⋅k⋅e25⋅k⋅t(e25⋅k⋅t+24)2=15000⋅k⋅e25⋅k⋅t(e25⋅k⋅t)2+2⋅24⋅e25⋅k⋅t+242⋅e−25⋅k⋅te−25⋅k⋅t=15000⋅k⋅1e25⋅k⋅t+48+576⋅e−25⋅k⋅th'(t) = 15000\cdot k\cdot \frac{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}}{(\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 24)^2} = 15000\cdot k\cdot \frac{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}}{(\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t})^2 + 2\cdot 24\cdot \mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 24^2}\cdot \frac{\mathrm{e}^{-25\cdot k\cdot t}}{\mathrm{e}^{-25\cdot k\cdot t}} = 15000\cdot k\cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 48 + 576\cdot \mathrm{e}^{-25\cdot k\cdot t}}

3.2 Begründung für lim⁡t→∞(h′(t))=0\lim_{t\to\infty}(h'(t)) = 0

Lösung: Da für t→∞t\to\infty der Term e25⋅k⋅t→∞\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}\to\infty und 576⋅e−25⋅k⋅t→0576\cdot\mathrm{e}^{-25\cdot k\cdot t}\to 0 strebt, strebt der Nenner gegen Unendlich und der Bruch insgesamt gegen 0.

3.2 Bedeutung im Sachzusammenhang für die Funktion hh

Lösung: Die Zunahme der Bakterien geht gegen null; die Anzahl der Bakterien nähert sich einer oberen Grenze (Sättigungsgrenze) an.

3.3 Bestimmen Sie kk so, dass die Funktion hh für t=12t = 12 am stärksten wächst.

Lösung: ln(24)/300 / 0,0106

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