Aufgabe Vorschlag C1 – 4 · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die „Puerta de Europa“ in Madrid besteht aus zwei einander zugeneigten Türmen (Material 1), die jeweils die Form eines Spats aufweisen. Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, wobei jeweils gegenüberliegende Flächen kongruent und parallel zueinander sind.

Im Modell liegen die Bodenflächen beider Türme in der $x$-$y$-Ebene, die den Erdboden beschreibt. Die Dachflächen liegen in einer Ebene, die parallel zur $x$-$y$-Ebene verläuft, die Nord- und Südwände liegen jeweils in einer Ebene, die parallel zur $y$-$z$-Ebene verläuft. Die (positive) $x$-Achse zeigt in Richtung Süden, die (positive) $y$-Achse in Richtung Osten.

Die Türme haben jeweils eine Höhe von $114\text{ m}$. Der Ostturm hat unter anderem die Eckpunkte $A(1{,}75|6|0)$, $B(1{,}75|9{,}5|0)$, $D(-1{,}75|6|0)$ und $E(1{,}75|2{,}9|11{,}4)$.

Eine Längeneinheit entspricht dabei $10\text{ m}$.

4 Vor einigen Jahren plante man, auf dem südlichen Vorplatz der beiden Türme einen Obelisken zu errichten. Ein Obelisk ist ein nach oben schmaler werdender Pfeiler. Der Mittelpunkt $P$ seiner Grundfläche sollte so auf dem Erdboden platziert werden, dass er mit den Mittelpunkten der Bodenflächen der Türme ein gleichseitiges Dreieck bildet. Bestimmen Sie die Koordinaten des zur Umsetzung dieser Planung benötigten Punktes $P$ in der x-y-Ebene.

[8 BE]

$P($

$\mid$

$\mid$

$)$