Abitur Hessen Mathematik 2021 · GK · Teil A · Analytische Geometrie

Das Gleichungssystem

$$\begin{aligned} \text{I} \quad -x + y &= -3 \\ \text{II} \quad 2x - 2y &= 6 \end{aligned}$$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ hat unendlich viele Lösungen.

a

Stellen Sie diese Lösungen in einem Koordinatensystem grafisch dar. Geben Sie die Lösung mit $y = 1$ an.

[3 BE]

$x =$

b

Im gegebenen Gleichungssystem wird die Gleichung $\text{II}$ durch die folgende Gleichung mit $a, b \in \mathbb{R}$ ersetzt:

$\text{II}^*\quad a\cdot x - 3y = b$

Geben Sie einen Wert von $a$ und einen Wert von $b$ an, für die das aus $\text{I}$ und $\text{II}^*$ bestehende Gleichungssystem keine Lösung hat. Begründen Sie Ihre Angabe.

[2 BE]

$a =$

$b =$

Das Gleichungssystem

$$\begin{aligned} \text{I} \quad -x + y &= -3 \\ \text{II} \quad 2x - 2y &= 6 \end{aligned}$$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ hat unendlich viele Lösungen.

Gegeben sind die Punkte $A(5 \mid 0 \mid a)$ und $B(2 \mid 4 \mid 5)$. Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

a

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben.

[3 BE]

b

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $a$, für den das Dreieck $OAB$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist.

[2 BE]

Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte $A$, $B$ und $D$. Die Grundfläche $OABC$ des Quaders ist quadratisch.

a

Beschreiben Sie die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor $\frac{1}{2}\cdot(\vec{b}-\vec{a})$ gehört.

[1 BE]

b

Der Punkt $P$ hat den Ortsvektor $\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{d}$. Zeichnen Sie $P$ in die Abbildung ein.

[1 BE]

c

Begründen Sie, dass der Wert des Terms $\vec{b}\circ\vec{OP}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

[3 BE]