Aufgabe Vorschlag C2.1 – 1.1–1.2 - Zufallsgrößen und Wahr… · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung LK · CAS (2021)

Aufgabenstellung

Stochastik

Bei der Aussaat von Raps können Landwirte aus verschiedenen Sorten mit jeweils spezifischen Eigenschaften wählen. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass ein Landwirt Saatgut einer Sorte A ausgebracht hat, die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % keimt.

1.1

Es werden dem Boden zufällig einige Körner entnommen und untersucht, ob diese gekeimt haben. Erläutern Sie die untenstehende Gleichung sowie die einzelnen Faktoren des Terms auf der rechten Seite der Gleichung in diesem Sachzusammenhang. Geben Sie den zugehörigen Zahlenwert an.

P(X=55)=(6055)⋅0,9555⋅0,055P(X=55) = \binom{60}{55} \cdot 0{,}95^{55} \cdot 0{,}05^5

Begründen Sie, warum das zugrunde gelegte mathematische Modell hier angewendet werden kann.

%

1.2

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

E1E_1: Unter 80 dem Boden zufällig entnommenen Körnern haben höchstens 4 nicht gekeimt.

%

E2E_2: Unter 80 dem Boden zufällig entnommenen Körnern weicht die Anzahl der gekeimten Körner höchstens um 2 vom zu erwartenden Wert ab.

%

Aufgabenstellung: Aufgabe Vorschlag C2.1 – 1.1–1.2 - Zufallsgrößen und Wahr… · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

1.1 Erläutern Sie die Gleichung sowie die einzelnen Faktoren in diesem Sachzusammenhang und begründen Sie das Modell.

Lösung: Mithilfe des Terms lässt sich die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass unter 60 zufällig dem Boden entnommenen Körnern genau 55 gekeimt haben. Dabei gibt der Binomialkoeffizient an, auf wie viele Arten 55 aus 60 Körnern ausgewählt werden können; 0,95 bzw. 0,05 sind die Wahrscheinlichkeiten für „ein Korn keimt“ bzw. „ein Korn keimt nicht“. Der erste Fall soll genau 55-mal, der zweite 5-mal vorkommen. Da nur diese beiden Fälle vorkommen können und die Wahrscheinlichkeiten in der gesamten Saatgutmenge (weitgehend) stabil bleiben, kann das Modell der Binomialverteilung verwendet werden.

1.1 Geben Sie den zugehörigen Zahlenwert an.

Lösung: 10{,}16 % / 0{,}1016

1.2 E1E_1: Unter 80 dem Boden zufällig entnommenen Körnern haben höchstens 4 nicht gekeimt.

Lösung: 62{,}89 % / 0{,}6289

1.2 E2E_2: Unter 80 dem Boden zufällig entnommenen Körnern weicht die Anzahl der gekeimten Körner höchstens um 2 vom zu erwartenden Wert ab.

Lösung: 80{,}87 % / 0{,}8087

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