Abitur Hessen Mathematik 2021 · GK · CAS

Analysis – Niveau 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - 6x$. Der Graph von $f$ ist in der Abbildung im Material dargestellt.

Material

1.1

Berechnen Sie $\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ und begründen Sie mithilfe der Abbildung, warum der Wert dieses Integrals negativ ist. [4 BE]

1.2

Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$ an. [1 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 1

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A(2|3|-4)$, $B(-1|1|0)$ und $C(2|1|-4)$.

2.1

Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck im Punkt $C$ einen rechten Winkel hat. [3 BE]

2.2

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dreiecksfläche. [2 BE]

Stochastik – Niveau 1

Feline besitzt eine Kiste mit den sechs gleichartigen Kugeln ➀ ❷ ③ ➍ ❺ ➏ (wobei die Kugeln 1 und 3 weiß sind, die Kugeln 2, 4, 5 und 6 schwarz sind) und führt zwei verschiedene Experimente durch.

3.1

Sie zieht zweimal hintereinander zufällig eine Kugel und legt jede Kugel nach dem Zug wieder zurück in die Kiste. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$: „Mindestens eine Kugel ist mit einer geraden Zahl beschriftet“. [2 BE]

3.2

Sie zieht dreimal hintereinander zufällig eine Kugel, ohne diese zurückzulegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$: „Unter den gezogenen Kugeln ist genau eine weiße Kugel“. [3 BE]

Stochastik – Niveau 2

4 In einem Kindergarten mit 120 Kindern, darunter 68 Mädchen und 52 Jungen, befinden sich 14 Mädchen und 10 Jungen, die eine Brille tragen.

Eine Umfrage unter den Eltern aller Kinder ergibt, dass bei 30 Kindern beide Elternteile eine Brille tragen. Unter diesen 30 Kindern tragen 8 eine Brille.

4.1

Ermitteln Sie den Anteil der Kinder, die eine Brille tragen, unter allen Kindern dieses Kindergartens. [2 BE]

4.2

Prüfen Sie die beiden folgenden Ereignisse $A$ und $B$ auf stochastische Unabhängigkeit: [3 BE]

$A$: Beide Elternteile tragen eine Brille.

$B$: Kind trägt eine Brille.

Hinweis: Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, falls gilt:

$P(B) = P_A(B)$ bzw. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

An einem geradlinig verlaufenden Fluss steht ein Deich älteren Baujahres, der erhöht werden soll, um den Hochwasserschutz zu verbessern. Das horizontale ebene Gelände links und rechts des Deichs liegt bei der folgenden Modellierung auf der Höhe der x-Achse. Die Funktionswerte der folgenden Funktionen geben die Höhen des Deichs in Bezug auf dieses ebene Gelände an. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Die obere Profillinie des alten Deichs wird für $0 \le x \le 20$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{3}{4} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{1 - \frac{1}{4}x}$$ beschrieben. Für $20 \le x \le x_N$ wird die obere Profillinie des Deichs durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(20 \mid f(20))$ beschrieben, wobei $x_N$ die Nullstelle der Tangente $t$ bezeichnet.

1.1

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente $t$.

Zeigen Sie, dass der Deich eine Breite von $25\text{ m}$ besitzt.

Zeichnen Sie die Profillinie des gesamten Deichs in ein geeignetes Koordinatensystem.

zur Kontrolle:

$t(x) = -\frac{3}{\mathrm{e}^4}\cdot x + \frac{75}{\mathrm{e}^4}$

1.2

Bestimmen Sie den höchsten Punkt der Profillinie des Deichs.

und $y$ =

An einem geradlinig verlaufenden Fluss steht ein Deich älteren Baujahres, der erhöht werden soll, um den Hochwasserschutz zu verbessern. Das horizontale ebene Gelände links und rechts des Deichs liegt bei der folgenden Modellierung auf der Höhe der x-Achse. Die Funktionswerte der folgenden Funktionen geben die Höhen des Deichs in Bezug auf dieses ebene Gelände an. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Die obere Profillinie des alten Deichs wird für $0 \le x \le 20$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{3}{4} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{1 - \frac{1}{4}x}$$ beschrieben. Für $20 \le x \le x_N$ wird die obere Profillinie des Deichs durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(20 \mid f(20))$ beschrieben, wobei $x_N$ die Nullstelle der Tangente $t$ bezeichnet.

1.3

Berechnen Sie mithilfe des Formansatzes $F(x) = (a\cdot x + b)\cdot \mathrm{e}^{1-\frac{1}{4}x}$ eine Stammfunktion der Funktion $f$.

1.4

Berechnen Sie das Volumen des gesamten Erdreichs, das zum Bau des $1\text{ km}$ langen alten Deichs aufgeschüttet wurde.

Der alte Deich soll nun durch einen neuen, gleich langen aber höheren Deich ersetzt werden, dessen obere Profillinie für $0 \le x \le 25$ durch den Graphen einer Funktion $g$ beschrieben wird, wobei $g$ eine Funktion der Funktionenschar $g_k$ mit $$g_k(x) = \frac{k}{1000} \cdot x \cdot (x - 25)^2$$ für $k > 0$ ist.

2.1

Untersuchen Sie, welchen Einfluss der Parameter $k$ auf die Höhe und auf die Breite des neuen Deichs besitzt. Berechnen Sie, wie der Parameter $k$ gewählt werden muss, damit der neue Deich höher als $3\text{ m}$ ist. [6 BE]

$k >$

2.2

Moderne Deiche werden mit einem möglichst flachen Gefälle auf der Flussseite konstruiert. Die Flussseite liegt in der Modellierung rechts bzw. in Richtung der positiven x-Achse. Für den Steigungswinkel $\alpha$ des (flussseitigen) Deichprofils gegenüber der Horizontalen soll $|\alpha| \le 30^\circ$ gelten.

Ermitteln Sie, für welchen Wert des Parameters $k$ der Graph der Funktionenschar $g_k$ die Bedingung $|\alpha| = 30^\circ$ an der steilsten Stelle des (flussseitigen) Deichprofils erfüllt. [4 BE]

$k =$

Der alte Deich soll nun durch einen neuen, gleich langen aber höheren Deich ersetzt werden, dessen obere Profillinie für $0 \le x \le 25$ durch den Graphen einer Funktion $g$ beschrieben wird, wobei $g$ eine Funktion der Funktionenschar $g_k$ mit $$g_k(x) = \frac{k}{1000} \cdot x \cdot (x - 25)^2$$ für $k > 0$ ist.

2.3.1

Für die Profillinie des neuen Deichs wird die Funktion $g$ mit $g(x) = g_2(x)$ gewählt.

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $g$ in das Koordinatensystem ein. [2 BE]

2.3.2

Untersuchen Sie, in welchem Bereich für den Bau des neuen Deichs Erde vom alten Deich abgetragen werden muss und in welchem Bereich Erde neu aufgeschüttet werden muss. Die abgetragene Erde wird bei der Erneuerung wieder eingesetzt. Bestimmen Sie das Volumen der Erde, die zusätzlich zur abgetragenen Erde benötigt wird, um den Deich auf der gesamten Länge von $1\text{ km}$ zu erneuern. [6 BE]

Der Ederstausee in Hessen ist bezogen auf sein Volumen der drittgrößte Stausee in Deutschland und wird unter anderem dazu genutzt, die Schifffahrt auf der Weser in den Sommermonaten sicherzustellen. Sein maximales Fassungsvermögen beträgt rund 200 Millionen Kubikmeter Wasser. Über eine Staumauer wird der Pegelstand und somit die Füllmenge reguliert.

Für die Monate Januar ($t = 0$) bis Oktober 2019 konnten folgende Füllmengen ermittelt werden:

Zeit $t$ in Monaten · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9

Füllmenge in Mio. $\text{m}^3$ · 22 · 120 · 180 · 198 · 185 · 155 · 115 · 75 · 40 · 25

Dabei beziehen sich die Zeitpunkte $t$ jeweils auf die Monatsmitte, die Füllmengen sind Mittelwerte der jeweiligen Monate. Vereinfachend wird angenommen, dass jeder Monat mit 30 Tagen gleich lang ist.

Die Füllmenge des Stausees (in Mio. $\text{m}^3$) soll in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Monaten) näherungsweise durch verschiedene Funktionen modelliert werden.

1.1

Zeichnen Sie die gegebenen Datenpunkte in ein skaliertes und beschriftetes Koordinatensystem ein. [3 BE]

1.2

Die Füllmenge des Stausees soll durch zwei ganzrationale Funktionen dritten Grades, $f$ und $g$, modelliert werden.

1.2.1

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion $f$, deren Graph durch die vier Datenpunkte zu den Zeitpunkten $t = 0, 3, 6$ und $9$ verläuft. [4 BE]

1.2.2

Erläutern Sie den folgenden Lösungsansatz zur Rekonstruktion der Funktion $g$. Beurteilen Sie, ob er geeignet ist. [4 BE]

(1) $g(1) = 120$

(2) $g(6) = 115$

(3) $g''(6) = 0$

Der Ederstausee in Hessen ist bezogen auf sein Volumen der drittgrößte Stausee in Deutschland und wird unter anderem dazu genutzt, die Schifffahrt auf der Weser in den Sommermonaten sicherzustellen. Sein maximales Fassungsvermögen beträgt rund 200 Millionen Kubikmeter Wasser. Über eine Staumauer wird der Pegelstand und somit die Füllmenge reguliert.

Für die Monate Januar ($t = 0$) bis Oktober 2019 konnten folgende Füllmengen ermittelt werden:

Zeit $t$ in Monaten · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9

Füllmenge in Mio. $\text{m}^3$ · 22 · 120 · 180 · 198 · 185 · 155 · 115 · 75 · 40 · 25

Dabei beziehen sich die Zeitpunkte $t$ jeweils auf die Monatsmitte, die Füllmengen sind Mittelwerte der jeweiligen Monate. Vereinfachend wird angenommen, dass jeder Monat mit 30 Tagen gleich lang ist.

Eine andere Näherungsfunktion für die Modellierung der Füllmenge des Stausees ist die Funktion $i$ mit $$i(t) = 1{,}525t^3 - 28t^2 + 129t + 21$$

1.3

Bestimmen Sie mithilfe der Funktionsgleichung unter Angabe aller notwendigen Ableitungen die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von $i$ und deuten Sie die Ergebnisse im Sachzusammenhang. [8 BE]

HP( |)

TP( |)

WP( |)

Der Ederstausee in Hessen ist bezogen auf sein Volumen der drittgrößte Stausee in Deutschland und wird unter anderem dazu genutzt, die Schifffahrt auf der Weser in den Sommermonaten sicherzustellen. Sein maximales Fassungsvermögen beträgt rund 200 Millionen Kubikmeter Wasser. Über eine Staumauer wird der Pegelstand und somit die Füllmenge reguliert.

Für die Monate Januar ($t = 0$) bis Oktober 2019 konnten folgende Füllmengen ermittelt werden:

Zeit $t$ in Monaten · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9

Füllmenge in Mio. $\text{m}^3$ · 22 · 120 · 180 · 198 · 185 · 155 · 115 · 75 · 40 · 25

Dabei beziehen sich die Zeitpunkte $t$ jeweils auf die Monatsmitte, die Füllmengen sind Mittelwerte der jeweiligen Monate. Vereinfachend wird angenommen, dass jeder Monat mit 30 Tagen gleich lang ist.

1.4

Berechnen Sie die mittlere Füllmenge des Stausees in den Monaten April bis Oktober, die sich aus den Datenpunkten der zu Beginn der Aufgabe gegebenen Tabelle ergibt.

Entscheiden Sie begründet ohne weitere Rechnung, mit welchem der nachfolgenden Terme die mittlere Füllmenge des Stausees in dem betrachteten Zeitraum näherungsweise berechnet werden kann und mit welchem nicht.

(1) $\frac{1}{6} \int_{3}^{9} i(t)\,\mathrm{d}t$

(2) $\frac{1}{7} \int_{2{,}5}^{9{,}5} i(t)\,\mathrm{d}t$

Der Ederstausee in Hessen ist bezogen auf sein Volumen der drittgrößte Stausee in Deutschland und wird unter anderem dazu genutzt, die Schifffahrt auf der Weser in den Sommermonaten sicherzustellen. Sein maximales Fassungsvermögen beträgt rund 200 Millionen Kubikmeter Wasser. Über eine Staumauer wird der Pegelstand und somit die Füllmenge reguliert.

Für die Monate Januar ($t = 0$) bis Oktober 2019 konnten folgende Füllmengen ermittelt werden:

Zeit $t$ in Monaten · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9

Füllmenge in Mio. $\text{m}^3$ · 22 · 120 · 180 · 198 · 185 · 155 · 115 · 75 · 40 · 25

Dabei beziehen sich die Zeitpunkte $t$ jeweils auf die Monatsmitte, die Füllmengen sind Mittelwerte der jeweiligen Monate. Vereinfachend wird angenommen, dass jeder Monat mit 30 Tagen gleich lang ist.

Am Fuße der Staumauer befindet sich das Kraftwerk Hemfurth I, welches aus dem herabströmenden Wasser Strom erzeugt. Die Zuflussgeschwindigkeit durch den Fluss „Eder“ in den Stausee beträgt konstant $5{,}2\,\frac{\text{m}^3}{\text{s}}$. Durch den zusätzlichen Zulauf durch Bäche ist die tatsächliche Zuflussgeschwindigkeit allerdings um $10\,\%$ höher. Für die Stromerzeugung wird täglich in der Zeit von 17.00 Uhr bis 21.15 Uhr Wasser abgegeben. Die Abflussgeschwindigkeit aus dem Stausee beträgt hierbei konstant $36\,\frac{\text{m}^3}{\text{s}}$. Untersuchen Sie anhand einer geeigneten Rechnung die Auswirkungen der Zu- und Abflüsse auf die tägliche Füllmenge des Stausees.

m³

m³

m³

Zum Schutz vor Hochwasser wird im Stausee ein sogenannter Hochwasserschutzraum mit einem Volumen von $30\text{ Mio. m}^3$ freigehalten. Nach starken Regenfällen kann die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in den Stausee innerhalb der ersten $72$ Stunden durch die Funktion $z$ mit $$z(t) = -\frac{1}{600}(t-30)^2 + 1{,}5$$ und die Abflussgeschwindigkeit nach dem Öffnen von Notschleusen durch die Funktion $a$ mit $$a(t) = -\frac{1}{1620}(t-36)^2 + 0{,}8$$ dargestellt werden (Material 1).

Hierbei gibt $t$ jeweils die Zeit in Stunden ab dem Beginn des Zu- bzw. Abflusses an und $z(t)$ bzw. $a(t)$ die Fließgeschwindigkeit in $\text{Mio. }\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Dabei sind die Funktionen $z$ und $a$ nur in Intervallen mit positiven Funktionswerten definiert, sonst seien die Funktionswerte konstant null.

Material 1

3.1

Erläutern Sie die folgende Rechnung im Sachzusammenhang.

Begründen Sie, dass die getroffene Schlussfolgerung nicht richtig sein muss.

$$\int_0^{60} z(t)\,\mathrm{d}t - \int_0^{72} a(t)\,\mathrm{d}t = 60 - 38{,}4 = 21{,}6$$

Der Hochwasserschutzraum von $30\text{ Mio. m}^3$ ist ausreichend, da in dem betrachteten Zeitraum nur $21{,}6\text{ Mio. m}^3$ mehr zu- als abfließen.

Zum Schutz vor Hochwasser wird im Stausee ein sogenannter Hochwasserschutzraum mit einem Volumen von $30\text{ Mio. m}^3$ freigehalten. Nach starken Regenfällen kann die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in den Stausee innerhalb der ersten $72$ Stunden durch die Funktion $z$ mit $$z(t) = -\frac{1}{600}(t-30)^2 + 1{,}5$$ und die Abflussgeschwindigkeit nach dem Öffnen von Notschleusen durch die Funktion $a$ mit $$a(t) = -\frac{1}{1620}(t-36)^2 + 0{,}8$$ dargestellt werden (Material 1).

Hierbei gibt $t$ jeweils die Zeit in Stunden ab dem Beginn des Zu- bzw. Abflusses an und $z(t)$ bzw. $a(t)$ die Fließgeschwindigkeit in $\text{Mio. }\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Dabei sind die Funktionen $z$ und $a$ nur in Intervallen mit positiven Funktionswerten definiert, sonst seien die Funktionswerte konstant null.

Material 1

3.2

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Füllmenge des Hochwasserschutzraums in den betrachteten 72 Stunden maximal ist.

Der Ederstausee in Hessen ist bezogen auf sein Volumen der drittgrößte Stausee in Deutschland und wird unter anderem dazu genutzt, die Schifffahrt auf der Weser in den Sommermonaten sicherzustellen. Sein maximales Fassungsvermögen beträgt rund 200 Millionen Kubikmeter Wasser. Über eine Staumauer wird der Pegelstand und somit die Füllmenge reguliert.

Für die Monate Januar ($t = 0$) bis Oktober 2019 konnten folgende Füllmengen ermittelt werden:

Zeit $t$ in Monaten · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9

Füllmenge in Mio. $\text{m}^3$ · 22 · 120 · 180 · 198 · 185 · 155 · 115 · 75 · 40 · 25

Dabei beziehen sich die Zeitpunkte $t$ jeweils auf die Monatsmitte, die Füllmengen sind Mittelwerte der jeweiligen Monate. Vereinfachend wird angenommen, dass jeder Monat mit 30 Tagen gleich lang ist.

Die maximale Füllhöhe $h$ über dem tiefsten Punkt des Sees beträgt ca. 40 m, die maximale Füllmenge 200 Mio. $\text{m}^3$. Der zugehörige Füllgraph, der die Füllmenge $V$ des Sees in Mio. $\text{m}^3$ in Abhängigkeit von der Höhe $h$ der Wasseroberfläche über dem tiefsten Punkt des Sees in Meter beschreibt, ist in Material 2 abgebildet und kann durch eine quadratische Funktion $V$ beschrieben werden.

Material 2

4.1

In Material 3 sind zwei stark vereinfachte Formen eines Seebeckens vorgegeben.

Entscheiden Sie, welche der Formen zum Füllgraph $V$ gehört, und welche nicht. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung unter Bezugnahme auf Material 3.

[4 BE]

Material 3

4.2

Durch das Fluten des Edersees befinden sich heute einige Gebäude, Straßen und Brücken je nach Füllmenge des Sees unter Wasser. Beträgt die Füllmenge des Sees nur ca. 80 Mio. $\text{m}^3$, kommt der alte Friedhof wieder zum Vorschein.

Ermitteln Sie mithilfe von Material 2 die zugehörige Höhe $h$ der Wasseroberfläche über dem tiefsten Punkt des Sees.

[2 BE]

Zur Untersuchung des Reschensees wurden zwei Tauchroboter R1 und R2 eingesetzt, die sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf geradlinigen Bahnen unter Wasser fortbewegen und Daten an eine Forschungsstation senden. Im Verlauf des ersten Tauchgangs werden folgende Ortungsdaten gesendet:

Ortungsdaten von R1: zum Zeitpunkt $t_1$: $P_1(24 \mid 8 \mid -1)$   zum Zeitpunkt $t_2$: $P_2(20 \mid 5 \mid -3)$

Ortungsdaten von R2: zum Zeitpunkt $t_1$: $Q_1(15 \mid 0 \mid -5{,}5)$   zum Zeitpunkt $t_2$: $Q_2(9 \mid -2 \mid -8{,}5)$

In Südtirol ragt im aufgestauten Reschensee ein versunkener Kirchturm empor (Material 1).

Zur Beschreibung des Kirchturms wird ein räumliches Koordinatensystem gewählt. Die Wasseroberfläche liegt in der x-y-Ebene. Eine Einheit in dem Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Material 1: Kirchturm im Reschensee

Material 2: Räumliches Modell des Kirchturms

1 Der Kirchturm besteht aus einem $22\text{ m}$ hohen, quaderförmigen unteren Teil mit $36\text{ m}^2$ großer quadratischer Grundfläche. Darüber befindet sich ein $9\text{ m}$ hohes, symmetrisches Dach in Form einer Pyramide. Je nach Wasserstand ragt der Turm unterschiedlich weit aus dem Reschensee empor.

1.1

Zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet sich die Grundfläche $ABCD$ des Turmes $7\text{ m}$ unter der Wasseroberfläche (Material 2). Die Kante $AE$ liegt auf der $z$-Achse.

Geben Sie die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $G$, $H$ und $S$ in Material 2 an. [5 BE]

( |

|

)

( |

|

)

( |

|

)

( |

|

)

( |

|

)

1.2

Für eine Restaurierung im Jahr 2009 wurde das Dach erneuert.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dachfläche. [4 BE]

Zur Untersuchung des Reschensees wurden zwei Tauchroboter R1 und R2 eingesetzt, die sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf geradlinigen Bahnen unter Wasser fortbewegen und Daten an eine Forschungsstation senden. Im Verlauf des ersten Tauchgangs werden folgende Ortungsdaten gesendet:

Ortungsdaten von R1: zum Zeitpunkt $t_1$: $P_1(24 \mid 8 \mid -1)$   zum Zeitpunkt $t_2$: $P_2(20 \mid 5 \mid -3)$

Ortungsdaten von R2: zum Zeitpunkt $t_1$: $Q_1(15 \mid 0 \mid -5{,}5)$   zum Zeitpunkt $t_2$: $Q_2(9 \mid -2 \mid -8{,}5)$

2.1

Bestimmen Sie die Parametergleichungen der beiden Geraden, die die Tauchbahnen der Roboter modellieren. [4 BE]

$\vec{x} = {}$

${} + r_1 \cdot {}$

$\vec{x} = {}$

${} + r_2 \cdot {}$

2.2

Ermitteln Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Geraden aus Aufgabe 2.1.

[zur Kontrolle: $T(12 \mid -1 \mid -7)$] [4 BE]

$T($

$\mid$

$\mid$

$)$

2.3

Die beiden Roboter starten gleichzeitig vom Punkt $P_1$ bzw. $Q_1$ zum Zeitpunkt $t_1$ und bewegen sich auf ihren Tauchbahnen zum Schnittpunkt $T$.

Begründen Sie, dass der Schnittpunkt $T$ auf dem Weg des Roboters $R_1$ nicht zwischen $P_1$ und $P_2$ liegt, und ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $U$, an dem sich $R_1$ befindet, wenn der Tauchroboter $R_2$ am Schnittpunkt $T$ angelangt ist. [4 BE]

$U($

$\mid$

$\mid$

$)$

2.5

Bei den folgenden Aufgaben werden die Tauchroboter als punktförmig angesehen.

Bei einem zweiten Tauchgang kann man ab einem bestimmten Zeitpunkt die Tauchbahnen der beiden Tauchroboter $R_1$ und $R_2$ folgendermaßen beschreiben:

$$\text{R1: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \\ -22 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 11 \\ -3 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \text{R2: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 27 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Dabei ist $t \ge 0$ die Zeit in Minuten ab diesem Zeitpunkt.

Die Vektorgleichung

$$\begin{pmatrix} 15 \\ -22 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 11 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$$

besitzt die Lösung $t = 4$.

Deuten Sie diese Lösung im Sachzusammenhang. [3 BE]

Zur Untersuchung des Reschensees wurden zwei Tauchroboter R1 und R2 eingesetzt, die sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf geradlinigen Bahnen unter Wasser fortbewegen und Daten an eine Forschungsstation senden. Im Verlauf des ersten Tauchgangs werden folgende Ortungsdaten gesendet:

Ortungsdaten von R1: zum Zeitpunkt $t_1$: $P_1(24 \mid 8 \mid -1)$   zum Zeitpunkt $t_2$: $P_2(20 \mid 5 \mid -3)$

Ortungsdaten von R2: zum Zeitpunkt $t_1$: $Q_1(15 \mid 0 \mid -5{,}5)$   zum Zeitpunkt $t_2$: $Q_2(9 \mid -2 \mid -8{,}5)$

2.4

Berechnen Sie den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren $\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\vec{P_1P_2}$.

°

Deuten Sie den Winkel $\beta = 90^\circ - \alpha$ im Sachzusammenhang.

Im Reschensee befindet sich ein feinmaschiges ebenes Netz. Das Netz verläuft durch die Punkte $N_1(-19|-5|-5{,}5)$, $N_2(-23|-7|-1{,}5)$ und $N_3(-16|-3|-5{,}5)$.

3.1

Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene $N$ an, in der das Netz liegt, und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene $N$.

[Eine mögliche Koordinatengleichung von $N$ lautet: $8x - 12y + 2z = -103$]

$N: \vec{x} =$

$+ \lambda \cdot$

$+ \mu \cdot$

Im Reschensee befindet sich ein feinmaschiges ebenes Netz. Das Netz verläuft durch die Punkte $N_1(-19|-5|-5{,}5)$, $N_2(-23|-7|-1{,}5)$ und $N_3(-16|-3|-5{,}5)$.

3.2 Ein weiterer Tauchroboter R3 ist mit Sensoren ausgestattet, die bei einer Abstandsunterschreitung von $2$ Metern zu einem Hindernis Alarm auslösen. Der Roboter R3 befindet sich im Punkt $P_3(-9|6|-6)$ in der Nähe des Netzes.

Zeigen Sie, dass die Sensoren an diesem Punkt keinen Alarm auslösen. [6 BE]

$L($

$|$

$|$

$)$

In einem großen Unternehmen werden Elektronikgeräte hergestellt. Erfahrungsgemäß sind $3\,\%$ der hergestellten Geräte defekt.

1.1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.

[6 BE]

$P(A) =$

$P(B) =$

$P(C) =$

1.2

Geben Sie im vorliegenden Sachzusammenhang ein Ereignis D an, für das gilt:

[2 BE]

$$P(D)=\binom{100}{3}\cdot 0{,}03^3\cdot 0{,}97^{100-3}+\binom{100}{4}\cdot 0{,}03^4\cdot 0{,}97^{100-4}+\binom{100}{5}\cdot 0{,}03^5\cdot 0{,}97^{100-5}$$

1.3

Berechnen Sie die Anzahl der Geräte, die man mindestens überprüfen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens ein defektes Gerät zu erhalten.

[4 BE]

$n \ge$

1.4

Man testet 300 zufällig ausgewählte Geräte.

Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der defekten Geräte.

[2 BE]

$E(X) =$

In einem großen Unternehmen werden Elektronikgeräte hergestellt. Erfahrungsgemäß sind $3\,\%$ der hergestellten Geräte defekt.

1.5

Das Unternehmen hat ein neues Bauteil entwickelt, das in viele Elektronikgeräte eingebaut wurde. Es wird vermutet, dass sich dadurch der Anteil der defekten Geräte verringert hat. Zur Überprüfung dieser Vermutung werden 300 zufällig ausgewählte Geräte auf ihre Funktionstüchtigkeit getestet. Entwickeln Sie einen linksseitigen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang. [6 BE]

In einem großen Unternehmen sind $77\,\%$ aller Beschäftigten mit der Höhe ihres Gehalts zufrieden. $5\,\%$ aller Beschäftigten sind in der Werbeabteilung tätig und nicht zufrieden mit der Höhe ihres Gehalts. Insgesamt gehören der Werbeabteilung $12\,\%$ aller Beschäftigten an.

2.1

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. [3 BE]

Seien $W$: „in der Werbeabteilung tätig“ und $Z$: „mit Gehalt zufrieden“. Geben Sie die Anteile in Prozent oder als Dezimalzahl an:

$Z$

$\overline{Z}$

Summe

$W$

$\overline{W}$

Summe

2.2

Untersuchen Sie, ob der Anteil der Beschäftigten, die mit ihrem Gehalt nicht zufrieden sind, in der Werbeabteilung größer ist als im übrigen Unternehmen. [3 BE]

%

%

In einem großen Unternehmen sind 77 % aller Beschäftigten mit der Höhe ihres Gehalts zufrieden. 5 % aller Beschäftigten sind in der Werbeabteilung tätig und nicht zufrieden mit der Höhe ihres Gehalts. Insgesamt gehören der Werbeabteilung 12 % aller Beschäftigten an.

Im Rahmen einer Befragung soll ermittelt werden, wie viele Beschäftigte beabsichtigen, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen. Um zu vermeiden, dass Befragte aus Sorge vor negativen Konsequenzen nicht wahrheitsgemäß antworten, wird ein besonderes Verfahren angewendet. Dabei wird 70 % aller Beschäftigten die folgende Frage A zugeteilt, den übrigen Beschäftigten die folgende Frage B:

A: „Beabsichtigen Sie, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen?“

B: „Beabsichtigen Sie, für die nächsten zwölf Monate im Unternehmen zu bleiben?“

Nur der befragten Person selbst ist bekannt, welche Frage ihr zugeteilt wurde. Die befragte Person beantwortet die Frage wahrheitsgemäß.

Das Baumdiagramm im Material stellt einen Teil des beschriebenen Verfahrens dar.

Material

2.5

Geben Sie die Bedeutung von $y$ im Sachzusammenhang an. [2 BE]

Von den $2700$ Beschäftigten antworten $1024$ mit „Ja“. Es kann davon ausgegangen werden, dass der Anteil der Beschäftigten mit der Absicht, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen, unter denjenigen, denen die Frage A zugeteilt wurde, ebenso groß ist wie unter denjenigen, denen die Frage B zugeteilt wurde.

2.6

Zeigen Sie, dass aufgrund des Ergebnisses der Befragung davon auszugehen ist, dass etwa $20\,\%$ der Beschäftigten beabsichtigen, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen. [4 BE]

%

2.7

Eine beschäftigte Person, die mit „Ja“ geantwortet hat, wird zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person beabsichtigt, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen. [3 BE]

%

In einem großen Unternehmen sind 77 % aller Beschäftigten mit der Höhe ihres Gehalts zufrieden. 5 % aller Beschäftigten sind in der Werbeabteilung tätig und nicht zufrieden mit der Höhe ihres Gehalts. Insgesamt gehören der Werbeabteilung 12 % aller Beschäftigten an.

Im Rahmen einer Befragung soll ermittelt werden, wie viele Beschäftigte beabsichtigen, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen. Um zu vermeiden, dass Befragte aus Sorge vor negativen Konsequenzen nicht wahrheitsgemäß antworten, wird ein besonderes Verfahren angewendet. Dabei wird 70 % aller Beschäftigten die folgende Frage A zugeteilt, den übrigen Beschäftigten die folgende Frage B:

A: „Beabsichtigen Sie, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen?“

B: „Beabsichtigen Sie, für die nächsten zwölf Monate im Unternehmen zu bleiben?“

Nur der befragten Person selbst ist bekannt, welche Frage ihr zugeteilt wurde. Die befragte Person beantwortet die Frage wahrheitsgemäß.

Das Baumdiagramm im Material stellt einen Teil des beschriebenen Verfahrens dar.

Material

2.3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter 500 zufällig ausgewählten Beschäftigten mehr als 400 befinden, die mit ihrem Gehalt zufrieden sind.

2.4

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $1 - F(600; 0{,}23; 400)$ im Sachzusammenhang.

In einer Bäckerei werden handgemachte Berliner (ein Süßgebäck) hergestellt. In einer Tagesproduktion sind 60% der Berliner mit Marmelade gefüllt, der Rest ist ungefüllt. 25% der mit Marmelade gefüllten Berliner und 50% der nicht mit Marmelade gefüllten Berliner sind mit Zuckerguss überzogen, die übrigen sind mit Puderzucker bestreut.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$M$: Der Berliner ist mit Marmelade gefüllt.

$Z$: Der Berliner ist mit Zuckerguss überzogen.

1.1

Stellen Sie den beschriebenen Sachzusammenhang in einem Baumdiagramm dar. [3 BE]

1.2

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $\mathrm{P}(\mathrm{M} \cap \mathrm{Z})$ im Sachzusammenhang und berechnen Sie den entsprechenden Wert. [3 BE]

1.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass insgesamt $35\,\%$ der Berliner mit Zuckerguss überzogen sind. [2 BE]

1.4

Berechnen Sie, welcher Anteil der mit Zuckerguss überzogenen Berliner mit Marmelade gefüllt ist. [2 BE]

In einer Bäckerei werden handgemachte Berliner (ein Süßgebäck) hergestellt. In einer Tagesproduktion sind 60% der Berliner mit Marmelade gefüllt, der Rest ist ungefüllt. 25% der mit Marmelade gefüllten Berliner und 50% der nicht mit Marmelade gefüllten Berliner sind mit Zuckerguss überzogen, die übrigen sind mit Puderzucker bestreut.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$M$: Der Berliner ist mit Marmelade gefüllt.

$Z$: Der Berliner ist mit Zuckerguss überzogen.

Es werden aus der Tagesproduktion 10 Berliner zufällig ausgewählt und überprüft, ob sie mit Marmelade gefüllt sind. Gehen Sie davon aus, dass es sich bei diesem Zufallsexperiment um eine Bernoulli-Kette handelt.

1.5.1

Erörtern Sie, welchen Einfluss die Gesamtzahl der Berliner in der Tagesproduktion auf die Modellierung des Sachzusammenhangs mit einer Bernoulli-Kette hat. [3 BE]

1.5.2

Beschreiben Sie im gegebenen Sachzusammenhang ein Ereignis $\mathrm{E}$, für das gilt:$$\mathrm{P}(\mathrm{E}) = 0{,}4^{10} + 10 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4^9 + \binom{10}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^8 + \binom{10}{3} \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4^7$$und geben Sie die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ an. [3 BE]

1.5.3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: [8 BE]

In einem großen Unternehmen werden Elektronikgeräte hergestellt. Erfahrungsgemäß sind $3\,\%$ der hergestellten Geräte defekt.

Zwei Mitarbeiter stellen jeweils 50 Berliner von Hand her und bestimmen deren Gewicht mit einer auf Gramm genauen Waage. Die Ergebnisse sind im Material dargestellt.

Material: Untersuchung des Gewichts der Berliner

Mitarbeiter A

Gewicht in Gramm · 88 · 89 · 90 · 91 · 92 · 93

Anzahl Berliner · 6 · 9 · 10 · 12 · 8 · 5

Mitarbeiter B

Gewicht in Gramm · 88 · 89 · 90 · 91 · 92 · 93

Anzahl Berliner · 2 · 5 · 20 · 16 · 6 · 1

2.1

Stellen Sie die Daten von Mitarbeiter A graphisch in einem Diagramm dar. [5 BE]

2.2

Zeigen Sie rechnerisch, dass der arithmetische Mittelwert des Gewichts der Berliner bei beiden Mitarbeitern jeweils gleich groß ist. [4 BE]

2.3

Erörtern Sie ohne weitere Rechnung, bei welchem der beiden Mitarbeiter die (empirische) Standardabweichung des Gewichts größer ist. [3 BE]

Mitarbeiter A

Mitarbeiter B

In einem großen Unternehmen werden Elektronikgeräte hergestellt. Erfahrungsgemäß sind $3\,\%$ der hergestellten Geräte defekt.

Beim Bezahlen an der Kasse bietet die Bäckerei bei einer Rabattaktion zwei Varianten an:

Variante 1: Der Kunde erhält $3\,\%$ Rabatt auf den Einkauf.

Variante 2: Es wird mit zwei herkömmlichen Spielwürfeln gewürfelt, die jeweils mit den Zahlen $1, 2, 3, 4, 5, 6$ beschriftet sind. Fallen dabei zwei Sechsen, bekommt der Kunde seinen Einkauf geschenkt. Andernfalls muss er den vollen Preis bezahlen.

Untersuchen Sie, welche Variante langfristig für den Kunden günstiger ist.

[4 BE]