Aufgabe Vorschlag C2.1 · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Stochastik

Bei der Aussaat von Raps können Landwirte aus verschiedenen Sorten mit jeweils spezifischen Eigenschaften wählen. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass ein Landwirt Saatgut einer Sorte A ausgebracht hat, die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % keimt.

Aufgabe 3

Bei der Aussaat von Raps gibt es die Varianten Drillsaat und Einzelkornsaat. Bei letzterer erhofft man sich neben einer Reduzierung der benötigten Menge an Saatgut durch eine gleichmäßige Verteilung des Saatguts auf das Feld besonders gute Erträge. Die Körner werden einzeln durch eine Maschine in Reihen auf dem Feld abgelegt. Im Untersuchungsbericht eines Modellversuchs wird festgestellt, dass die Zufallsgröße $Y$: „Abstand zwischen zwei benachbarten Körnern innerhalb einer Reihe“ normalverteilt sei. Ferner habe man ermittelt, dass der Mittelwert $5\text{ cm}$ und die Standardabweichung $1{,}5\text{ cm}$ beträgt.

Bestimmen Sie jeweils, mit welcher Wahrscheinlichkeit für einen zufällig ausgewählten und gemessenen Abstand zweier benachbarter Körner gemäß dieses Untersuchungsberichts Folgendes gilt: [5 BE]

A:

%

B:

%

Aufgabe 4

Bei einer genaueren Untersuchung der Resultate einer Drillsaatmaschine, welche die Körner ungenauer und im Mittel näher beieinander ablegt, hat man die im Material dargestellten Beobachtungen zu den Abständen benachbarter Körner gemacht. Es wird die Zufallsvariable $Z$: „Abstand zwischen zwei benachbarten Körnern innerhalb einer Reihe“ betrachtet.

Material: Häufigkeitsverteilung von Kornabständen bei Drillsaat ($n = 200$)

Abstand (in cm) im Intervall · Absolute Häufigkeit

$[0; 1)$ · $60$

$[1; 2)$ · $43$

$[2; 3)$ · $30$

$[3; 4)$ · $21$

$[4; 5)$ · $15$

$[5; 6)$ · $11$

$[6; 7)$ · $8$

$[7; 8)$ · $5$

$[8; 9)$ · $4$

$[9; 10)$ · $3$

$[10; \infty)$ · $0$

4.1

Stellen Sie die Daten aus dem Material unter Verwendung der zugehörigen relativen Häufigkeiten in Form eines Säulendiagramms dar. [4 BE]

4.2

Erläutern Sie anhand der Daten, warum zur Beschreibung der Verteilung des Kornabstands $Z$ eine Exponentialfunktion $f$ der Form $f(z) = a\cdot \mathrm{e}^{-b\cdot z}$, $a, b > 0$, für $z \ge 0$ als Dichtefunktion geeignet ist. [2 BE]

4.3

Es gilt $P(0 \le Z \le u) = \int_0^u f(z)\,\mathrm{d}z = \frac{a}{b}\cdot (1 - \mathrm{e}^{-b\cdot u})$ und somit $\lim_{u \to \infty}(P(0 \le Z \le u)) = \frac{a}{b}$.

Begründen Sie, dass hieraus $a = b$ folgt, und bestätigen Sie mithilfe der relativen Häufigkeit für das Intervall $[0; 1)$, dass $a = b \approx 0{,}36$ gilt. [4 BE]

4.4

Die Verteilung des Kornabstands $Z$ wird nun für $z \ge 0$ durch die Dichtefunktion $f$ mit $f(z) = 0{,}365\cdot \mathrm{e}^{-0{,}365\cdot z}$ modelliert. Es gilt beispielsweise $P(0 \le Z \le 3) = \int_0^3 f(z)\,\mathrm{d}z \approx 66{,}55\,\%$.

Erläutern Sie die Bedeutung dieses Ergebnisses im Sachzusammenhang und prüfen Sie, ob dieser Wert in guter Näherung mit der Häufigkeitsverteilung im Material übereinstimmt. [3 BE]