Aufgabe Vorschlag B2 – 1.1–1.2 - Differentialrechnung · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a;k}$ mit $f_{a;k}(x) = a \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$, $a > 0$, $k > 0$.

1.1

Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen von $f_{a;k}$ und geben Sie die verwendeten Ableitungsregeln an. Dabei darf die zweite Ableitung $f_{a;k}''(x) = a \cdot (k^2 \cdot x^2 - 4 \cdot k \cdot x + 2) \cdot e^{-k \cdot x}$ ohne Nachweis verwendet werden. [11 BE]

1.2

Der Hochpunkt des Graphen von $f_{a;k}$ hat die Koordinaten $H\left(\frac{2}{k} \;\middle|\; \frac{4a}{k^2 \cdot e^2}\right)$.

Begründen Sie, dass für einen festen Wert von $k$ alle Hochpunkte auf einer Parallelen zur y-Achse liegen.

Für einen festen Wert von $a$ liegen alle Hochpunkte auf einer Parabel mit der Gleichung $p_a(x) = \frac{a}{e^2} \cdot x^2$. Leiten Sie diese Gleichung her und skizzieren Sie die Parabel für $a = 1$ in der Abbildung in Material 1. [6 BE]