Abitur Hessen Mathematik 2021 · GK · WTR

Analysis – Niveau 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - 6x$. Der Graph von $f$ ist in der Abbildung im Material dargestellt.

Material

1.1

Berechnen Sie $\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ und begründen Sie mithilfe der Abbildung, warum der Wert dieses Integrals negativ ist.

1.2

Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$ an.

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 1

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A(2|3|-4)$, $B(-1|1|0)$ und $C(2|1|-4)$.

2.1

Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck im Punkt $C$ einen rechten Winkel hat.

2.2

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dreiecksfläche.

Stochastik – Niveau 1

Feline besitzt eine Kiste mit den sechs gleichartigen Kugeln ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ und führt zwei verschiedene Experimente durch.

(Hinweis zu den Kugeln: Die Kugeln ➀ und ➃ sind weiß mit schwarzer Schrift, die Kugeln ➁, ➂, ➄ und ➅ sind schwarz mit weißer Schrift.)

3.1

Sie zieht zweimal hintereinander zufällig eine Kugel und legt jede Kugel nach dem Zug wieder zurück in die Kiste. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

A: Mindestens eine Kugel ist mit einer geraden Zahl beschriftet.

[2 BE]

3.2

Sie zieht dreimal hintereinander zufällig eine Kugel, ohne diese zurückzulegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

B: Unter den gezogenen Kugeln ist genau eine weiße Kugel.

[3 BE]

Stochastik – Niveau 2

4 In einem Kindergarten mit 120 Kindern, darunter 68 Mädchen und 52 Jungen, befinden sich 14 Mädchen und 10 Jungen, die eine Brille tragen.

Eine Umfrage unter den Eltern aller Kinder ergibt, dass bei 30 Kindern beide Elternteile eine Brille tragen. Unter diesen 30 Kindern tragen 8 eine Brille.

4.1

Ermitteln Sie den Anteil der Kinder, die eine Brille tragen, unter allen Kindern dieses Kindergartens. [2 BE]

4.2

Prüfen Sie die beiden folgenden Ereignisse A und B auf stochastische Unabhängigkeit: [3 BE]

A: Beide Elternteile tragen eine Brille.

B: Kind trägt eine Brille.

Hinweis: Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, falls gilt:

$P(B) = P_A(B)$ bzw. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

An einem geradlinig verlaufenden Fluss steht ein Deich älteren Baujahres, der erhöht werden soll, um den Hochwasserschutz zu verbessern. Das horizontale ebene Gelände links und rechts des Deichs liegt bei der folgenden Modellierung auf der Höhe der x-Achse. Die Funktionswerte der folgenden Funktionen geben die Höhen des Deichs in Bezug auf dieses ebene Gelände an. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Die obere Profillinie des alten Deichs wird für $0 \le x \le 20$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{3}{4} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{1 - \frac{1}{4}x}$$ beschrieben (Material 1). Für $20 \le x \le x_N$ wird die obere Profillinie des Deichs durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(20 \mid f(20))$ beschrieben, wobei $x_N$ die Nullstelle der Tangente $t$ bezeichnet.

Material 1: Der alte Deich

1.1

Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Tangente $t$.

Zeigen Sie, dass der Deich eine Breite von $25\text{ m}$ besitzt.

Zeichnen Sie die Tangente im Bereich $20 \le x \le x_N$ in das Koordinatensystem im Material 1.

$\left[\text{zur Kontrolle: } t(x) = -\frac{3}{e^4}\cdot x + \frac{75}{e^4}\right]$

1.2

Berechnen Sie den höchsten Punkt der Profillinie des Deichs. Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist hierbei ausreichend.

Beschriften Sie die y-Achse im Koordinatensystem im Material 1 mit einer geeigneten Skalierung.

$x =$

$y =$

An einem geradlinig verlaufenden Fluss steht ein Deich älteren Baujahres, der erhöht werden soll, um den Hochwasserschutz zu verbessern. Das horizontale ebene Gelände links und rechts des Deichs liegt bei der folgenden Modellierung auf der Höhe der x-Achse. Die Funktionswerte der folgenden Funktionen geben die Höhen des Deichs in Bezug auf dieses ebene Gelände an. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Die obere Profillinie des alten Deichs wird für $0 \le x \le 20$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{3}{4} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{1 - \frac{1}{4}x}$$ beschrieben (Material 1). Für $20 \le x \le x_N$ wird die obere Profillinie des Deichs durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(20 \mid f(20))$ beschrieben, wobei $x_N$ die Nullstelle der Tangente $t$ bezeichnet.

Material 1: Der alte Deich

1.3

Berechnen Sie mithilfe des Formansatzes $F(x) = (a\cdot x + b)\cdot e^{1-\frac{1}{4}x}$ eine Stammfunktion der Funktion $f$.

$\left[\text{zur Kontrolle: } F(x) = (-3\cdot x - 12)\cdot e^{1-\frac{1}{4}x}\right]$

$a =$

$b =$

1.4

Berechnen Sie das Volumen des gesamten Erdreichs, das zum Bau des $1\text{ km}$ langen alten Deichs aufgeschüttet wurde.

Der alte Deich soll nun durch einen neuen, gleich langen aber höheren Deich ersetzt werden, dessen obere Profillinie für $0 \le x \le 25$ durch den Graphen einer Funktion $g$ beschrieben wird, wobei $g$ eine Funktion der Funktionenschar $g_k$ mit $g_k(x) = \frac{k}{1000} \cdot x \cdot (x - 25)^2$ für $k > 0$ ist. Die Hochpunkte der Graphen der Funktionenschar $g_k$ liegen in Abhängigkeit vom Parameter $k$ bei $H\left(\frac{25}{3} \middle| \frac{125}{54}k\right)$.

Material 2

Profillinien des alten und des neuen Deichs

2.1

Geben Sie an, welchen Einfluss der Parameter $k$ auf die Höhe und auf die Breite des neuen Deichs besitzt. Berücksichtigen Sie dabei auch die Lage der Nullstellen.

Berechnen Sie, wie der Parameter $k$ gewählt werden muss, damit der neue Deich höher als $3\text{ m}$ ist.

$k >$

2.2

Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktionenschar $g_k$ unabhängig vom Parameter $k$ einen Wendepunkt an der Stelle $x_\mathrm{W} = \frac{50}{3}$ besitzen.

$\left[\text{zur Kontrolle: } g_k'(x) = \frac{3\cdot k}{1000}\cdot x^2 - \frac{k}{10}\cdot x + \frac{5\cdot k}{8}\right]$

2.3

Moderne Deiche werden mit einem möglichst flachen Gefälle auf der Flussseite konstruiert. Für den Steigungswinkel $\alpha$ des (flussseitigen) Deichprofils gegenüber der Horizontalen soll $|\alpha| \le 30^\circ$ gelten.

Berechnen Sie, für welchen Wert des Parameters $k$ der Graph der Funktionenschar $g_k$ die Bedingung $|\alpha| = 30^\circ$ an der steilsten Stelle des (flussseitigen) Deichprofils erfüllt.

$k \approx$

Der alte Deich soll nun durch einen neuen, gleich langen aber höheren Deich ersetzt werden, dessen obere Profillinie für $0 \le x \le 25$ durch den Graphen einer Funktion $g$ beschrieben wird, wobei $g$ eine Funktion der Funktionenschar $g_k$ mit $g_k(x) = \frac{k}{1000} \cdot x \cdot (x - 25)^2$ für $k > 0$ ist. Die Hochpunkte der Graphen der Funktionenschar $g_k$ liegen in Abhängigkeit vom Parameter $k$ bei $H\left(\frac{25}{3} \middle| \frac{125}{54}k\right)$.

Material 2

Profillinien des alten und des neuen Deichs

2.4 Für die Profillinie des neuen Deichs wird die Funktion $g$ mit $g(x) = g_2(x)$ gewählt und die Rechnung im unten stehenden Kasten durchgeführt. Erläutern Sie mithilfe von Material 2 die Rechenschritte und deuten Sie das Ergebnis in Zeile (2) im Sachzusammenhang.

(4 BE)

(1)

$g(x) = f(x) \Leftrightarrow \dfrac{2}{1000}\cdot x\cdot (x - 25)^2 = \dfrac{3}{4}\cdot x\cdot e^{1 - \frac{1}{4}x} \Rightarrow x_1 = 0,\, x_2 \approx 3 \quad (x_3 \approx 23,\, x_4 \approx 26)$

(2)

$\Rightarrow V = 1000\cdot \displaystyle\int_{0}^{3} (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x \approx 889$

a)

b)

In einem Zoo wird ein Giraffenweibchen mit einer Körpergröße von 1,80 Metern geboren. Die Wachstumsphase des Giraffenweibchens beginnt unmittelbar mit der Geburt und endet nach sechs Jahren. Die Funktion $g$ mit $g(t) = -2,5t^3 + 22,5t^2 - 60t + 90$ beschreibt im Intervall $0 \le t \le 6$ in sehr guter Näherung die Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens (in cm pro Jahr) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren nach der Geburt).

Der Graph von $g$ ist in Material 1 dargestellt.

Material 1

Verlauf der Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens

1.1

Berechnen Sie $g(0)$ und $g(6)$. Erläutern Sie die Bedeutung dieser beiden Werte im Sachzusammenhang und beschriften Sie die Achsen in Material 1.

Beschreiben Sie die Skalierung (z. B. Schrittweite pro Teilstrich auf der $t$-Achse und auf der $g(t)$-Achse) oder laden Sie ein Foto des beschrifteten Materials hoch.

1.6

Begründen Sie mithilfe des Verlaufs des Graphen von $g$, dass der Graph der Funktion $G$ im betrachteten Intervall monoton steigend ist, und erklären Sie, wie viele Wendepunkte der Graph von $G$ besitzt.

In einem Zoo wird ein Giraffenweibchen mit einer Körpergröße von 1,80 Metern geboren. Die Wachstumsphase des Giraffenweibchens beginnt unmittelbar mit der Geburt und endet nach sechs Jahren. Die Funktion $g$ mit $g(t) = -2,5t^3 + 22,5t^2 - 60t + 90$ beschreibt im Intervall $0 \le t \le 6$ in sehr guter Näherung die Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens (in cm pro Jahr) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren nach der Geburt).

Der Graph von $g$ ist in Material 1 dargestellt.

Material 1

Verlauf der Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens

1.2

Berechnen Sie zunächst ohne Beachtung des Sachkontexts die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g$.

Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

1.3

Erläutern Sie nun, warum die in Aufgabe 1.2 für $t$ berechneten Werte in Bezug auf die gesamte Wachstumsphase des Giraffenweibchens nicht diejenigen sind, an denen die Wachstumsgeschwindigkeit am größten bzw. am kleinsten ist.

In einem Zoo wird ein Giraffenweibchen mit einer Körpergröße von 1,80 Metern geboren. Die Wachstumsphase des Giraffenweibchens beginnt unmittelbar mit der Geburt und endet nach sechs Jahren. Die Funktion $g$ mit $g(t) = -2,5t^3 + 22,5t^2 - 60t + 90$ beschreibt im Intervall $0 \le t \le 6$ in sehr guter Näherung die Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens (in cm pro Jahr) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren nach der Geburt).

Der Graph von $g$ ist in Material 1 dargestellt.

Material 1

Verlauf der Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens

1.4

Berechnen Sie den Wert des Terms $\frac{1}{3} \cdot \int_1^4 g(t)\,\mathrm{d}t$. Deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

1.5

Für $0 \le t \le 6$ stellt die Funktion $G$ die Größe des Giraffenweibchens (in cm) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren nach der Geburt) dar. Geben Sie eine Funktionsgleichung von $G$ an und erläutern Sie die Bedeutung des Wertes von $G$ zum Zeitpunkt $t = 0$.

In einem anderen Zoo wird zur selben Zeit wie das Weibchen in Aufgabe 1 ein Giraffenmännchen mit einer Körpergröße von 1,95 Metern geboren. Das Weibchen wird 4,50 Meter groß, das Männchen erreicht dagegen am Ende seiner sechsjährigen Wachstumsphase eine Größe von 6 Metern.

Es wird angenommen, dass die Wachstumsgeschwindigkeit des Männchens für $0 \le t \le 6$ durch eine Funktion der Schar $f_a$ mit $f_a(t) = a \cdot g(t)$ beschrieben wird, wobei der Parameter $a$ eine positive reelle Zahl ist.

2.1

Erklären Sie den Einfluss des Parameters $a$ auf den Verlauf des Graphen von $f_a$ und beschreiben Sie, was $a > 1$ in Bezug auf das Wachstum des Giraffenmännchens bedeutet. [3 BE]

In einem anderen Zoo wird zur selben Zeit wie das Weibchen in Aufgabe 1 ein Giraffenmännchen mit einer Körpergröße von 1,95 Metern geboren. Das Weibchen wird 4,50 Meter groß, das Männchen erreicht dagegen am Ende seiner sechsjährigen Wachstumsphase eine Größe von 6 Metern.

Es wird angenommen, dass die Wachstumsgeschwindigkeit des Männchens für $0 \le t \le 6$ durch eine Funktion der Schar $f_a$ mit $f_a(t) = a \cdot g(t)$ beschrieben wird, wobei der Parameter $a$ eine positive reelle Zahl ist.

2.2

Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters $a$ auf die jeweilige Lage des Wendepunktes der Graphen der Schar $f_a$. [3 BE]

In einem anderen Zoo wird zur selben Zeit wie das Weibchen in Aufgabe 1 ein Giraffenmännchen mit einer Körpergröße von 1,95 Metern geboren. Das Weibchen wird 4,50 Meter groß, das Männchen erreicht dagegen am Ende seiner sechsjährigen Wachstumsphase eine Größe von 6 Metern.

Es wird angenommen, dass die Wachstumsgeschwindigkeit des Männchens für $0 \le t \le 6$ durch eine Funktion der Schar $f_a$ mit $f_a(t) = a \cdot g(t)$ beschrieben wird, wobei der Parameter $a$ eine positive reelle Zahl ist.

2.3

Erläutern Sie die Ergebnisse der Berechnungen in Zeile (1) und (2) im Sachzusammenhang. Zeigen Sie mithilfe des folgenden Kastens, dass $a = 1{,}5$ gelten muss. Geben Sie an, um wieviel Prozent die Wachstumsgeschwindigkeit des Männchens größer ist als die des Weibchens. [5 BE]

%

In einem Zoo wird ein Giraffenweibchen mit einer Körpergröße von 1,80 Metern geboren. Die Wachstumsphase des Giraffenweibchens beginnt unmittelbar mit der Geburt und endet nach sechs Jahren. Die Funktion $g$ mit $g(t) = -2,5t^3 + 22,5t^2 - 60t + 90$ beschreibt im Intervall $0 \le t \le 6$ in sehr guter Näherung die Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens (in cm pro Jahr) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren nach der Geburt).

Der Graph von $g$ ist in Material 1 dargestellt.

Material 1

Verlauf der Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens

Der Größenunterschied zwischen Männchen und Weibchen wird für $0 \leq t \leq 6$ durch die Funktion $D$ mit $D(t) = -0{,}3125t^4 + 3{,}75t^3 - 15t^2 + 45t + 15$ beschrieben. Der Graph von $D$ ist in Material 2 abgebildet.

Die Fläche unter dem Graphen von $D$ soll wie in der Abbildung dargestellt in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck gleicher Breite umgewandelt werden.

Es gilt daher $\int_{0}^{6} D(t)\,\mathrm{d}t = m \cdot 6$, wobei $m$ die Höhe des Rechtecks angibt.

Bestimmen Sie den Wert von $m$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (4 BE)

Zur Untersuchung des Reschensees wurden zwei Tauchroboter R1 und R2 eingesetzt, die sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf geradlinigen Bahnen unter Wasser fortbewegen und Daten an eine Forschungsstation senden. Im Verlauf des ersten Tauchgangs werden folgende Ortungsdaten gesendet:

Ortungsdaten von R1: zum Zeitpunkt $t_1$: $P_1(24|8|-1)$

zum Zeitpunkt $t_2$: $P_2(20|5|-3)$

Ortungsdaten von R2: zum Zeitpunkt $t_1$: $Q_1(15|0|-5{,}5)$

zum Zeitpunkt $t_2$: $Q_2(9|-2|-8{,}5)$

In Südtirol ragt im aufgestauten Reschensee ein versunkener Kirchturm empor (Material 1).

Zur Beschreibung des Kirchturms wird ein räumliches Koordinatensystem gewählt. Die Wasseroberfläche liegt in der x-y-Ebene. Eine Einheit in dem Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Der Kirchturm besteht aus einem 22 m hohen, quaderförmigen unteren Teil mit 36 m² großer quadratischer Grundfläche. Darüber befindet sich ein 9 m hohes, symmetrisches Dach in Form einer Pyramide. Je nach Wasserstand ragt der Turm unterschiedlich weit aus dem Reschensee empor.

1.1

Zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet sich die Grundfläche ABCD des Turmes 7 m unter der Wasseroberfläche (Material 2). Die Kante AE liegt auf der z-Achse.

Geben Sie die Koordinaten der Punkte A, B, G, H und S in Material 2 an. [5 BE]

A(

|

|

)

B(

|

|

)

G(

|

|

)

H(

|

|

)

S(

|

|

)

1.2

Für eine Restaurierung im Jahr 2009 wurde das Dach erneuert.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dachfläche. [4 BE]

Zur Untersuchung des Reschensees wurden zwei Tauchroboter R1 und R2 eingesetzt, die sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf geradlinigen Bahnen unter Wasser fortbewegen und Daten an eine Forschungsstation senden. Im Verlauf des ersten Tauchgangs werden folgende Ortungsdaten gesendet:

Ortungsdaten von R1: zum Zeitpunkt $t_1$: $P_1(24|8|-1)$

zum Zeitpunkt $t_2$: $P_2(20|5|-3)$

Ortungsdaten von R2: zum Zeitpunkt $t_1$: $Q_1(15|0|-5{,}5)$

zum Zeitpunkt $t_2$: $Q_2(9|-2|-8{,}5)$

2.1

Bestimmen Sie die Parametergleichungen der beiden Geraden, die die Tauchbahnen der Roboter modellieren. [4 BE]

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 24 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + r_1 \cdot$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \\ 0 \\ -5{,}5 \end{pmatrix} + r_2 \cdot$

2.2

Ermitteln Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Geraden aus Aufgabe 2.1. [4 BE]

$T($

$|$

$|$

$)$

2.3

Die beiden Roboter starten gleichzeitig vom Punkt $P_1$ bzw. $Q_1$ zum Zeitpunkt $t_1$ und bewegen sich auf ihren Tauchbahnen zum Schnittpunkt $T$. Begründen Sie, dass der Schnittpunkt $T$ auf dem Weg des Roboters R1 nicht zwischen $P_1$ und $P_2$ liegt, und ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $U$, an dem sich R1 befindet, wenn der Tauchroboter R2 am Schnittpunkt $T$ angelangt ist. [4 BE]

$U($

$|$

$|$

$)$

2.5

Bei einem zweiten Tauchgang kann man ab einem bestimmten Zeitpunkt die Tauchbahnen der beiden Tauchroboter R1 und R2 folgendermaßen beschreiben:

$$\text{R1: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \\ -22 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 11 \\ -3 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \text{R2: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 27 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Dabei ist $t \ge 0$ die Zeit in Minuten ab diesem Zeitpunkt.

Die Vektorgleichung besitzt die Lösung $t = 4$.

Deuten Sie diese Lösung im Sachzusammenhang. [3 BE]

Zur Untersuchung des Reschensees wurden zwei Tauchroboter R1 und R2 eingesetzt, die sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf geradlinigen Bahnen unter Wasser fortbewegen und Daten an eine Forschungsstation senden. Im Verlauf des ersten Tauchgangs werden folgende Ortungsdaten gesendet:

Ortungsdaten von R1: zum Zeitpunkt $t_1$: $P_1(24|8|-1)$

zum Zeitpunkt $t_2$: $P_2(20|5|-3)$

Ortungsdaten von R2: zum Zeitpunkt $t_1$: $Q_1(15|0|-5{,}5)$

zum Zeitpunkt $t_2$: $Q_2(9|-2|-8{,}5)$

2.4

Berechnen Sie den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren $\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\vec{P_1P_2}$.

Deuten Sie den Winkel $\beta = 90^\circ - \alpha$ im Sachzusammenhang.

Im Reschensee befindet sich ein feinmaschiges ebenes Netz. Das Netz verläuft durch die Punkte $N_1(-19|-5|-5{,}5)$, $N_2(-23|-7|-1{,}5)$ und $N_3(-16|-3|-5{,}5)$.

3.1

Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene $N$ an, in der das Netz liegt, und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene $N$.

[Eine mögliche Koordinatengleichung von $N$ lautet: $8x - 12y + 2z = -103$]

Im Reschensee befindet sich ein feinmaschiges ebenes Netz. Das Netz verläuft durch die Punkte $N_1(-19|-5|-5{,}5)$, $N_2(-23|-7|-1{,}5)$ und $N_3(-16|-3|-5{,}5)$.

3.2

Ein weiterer Tauchroboter R3 ist mit Sensoren ausgestattet, die bei einer Abstandsunterschreitung von $2\text{ Metern}$ zu einem Hindernis Alarm auslösen. Der Roboter R3 befindet sich im Punkt $P_3(-9|6|-6)$ in der Nähe des Netzes.

Zeigen Sie, dass die Sensoren an diesem Punkt keinen Alarm auslösen.

In einem großen Unternehmen werden Elektronikgeräte hergestellt. Erfahrungsgemäß sind $3\,\%$ der hergestellten Geräte defekt.

1.1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

P(A) =

P(B) =

P(C) =

1.2

Geben Sie im vorliegenden Sachzusammenhang ein Ereignis D an, für das gilt:

$$P(D) = \binom{100}{3} \cdot 0{,}03^3 \cdot 0{,}97^{100-3} + \binom{100}{4} \cdot 0{,}03^4 \cdot 0{,}97^{100-4} + \binom{100}{5} \cdot 0{,}03^5 \cdot 0{,}97^{100-5}$$

1.3

Berechnen Sie die Anzahl der Geräte, die man mindestens überprüfen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens ein defektes Gerät zu erhalten.

1.4

Man testet 300 zufällig ausgewählte Geräte. Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der defekten Geräte.

In einem großen Unternehmen werden Elektronikgeräte hergestellt. Erfahrungsgemäß sind $3\,\%$ der hergestellten Geräte defekt.

Das Unternehmen hat ein neues Bauteil entwickelt, das in viele Elektronikgeräte eingebaut wurde. Es wird vermutet, dass sich dadurch der Anteil der defekten Geräte verringert hat.

Zur Überprüfung dieser Vermutung werden 300 zufällig ausgewählte Geräte auf ihre Funktionstüchtigkeit getestet. Entwickeln Sie einen linksseitigen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang.

[6 BE]

$k =$

In einem großen Unternehmen sind $77\,\%$ aller Beschäftigten mit der Höhe ihres Gehalts zufrieden. $5\,\%$ aller Beschäftigten sind in der Werbeabteilung tätig und nicht zufrieden mit der Höhe ihres Gehalts. Insgesamt gehören der Werbeabteilung $12\,\%$ aller Beschäftigten an.

Im Rahmen einer Befragung soll ermittelt werden, wie viele Beschäftigte beabsichtigen, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen. Um zu vermeiden, dass Befragte aus Sorge vor negativen Konsequenzen nicht wahrheitsgemäß antworten, wird ein besonderes Verfahren angewendet. Dabei wird $70\,\%$ aller Beschäftigten die folgende Frage A zugeteilt, den übrigen Beschäftigten die folgende Frage B:

A: „Beabsichtigen Sie, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen?“

B: „Beabsichtigen Sie, für die nächsten zwölf Monate im Unternehmen zu bleiben?“

Nur der befragten Person selbst ist bekannt, welche Frage ihr zugeteilt wurde. Die befragte Person beantwortet die Frage wahrheitsgemäß.

Das Baumdiagramm im Material stellt einen Teil des beschriebenen Verfahrens dar.

Material

2.1

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. [3 BE]

Geben Sie die Werte als Prozentwerte (z. B. 7 %) oder Dezimalzahlen (z. B. 0,07) ein:

$Z$

$\overline{Z}$

Summe

$W$

$\overline{W}$

Summe

2.2

Untersuchen Sie, ob der Anteil der Beschäftigten, die mit ihrem Gehalt nicht zufrieden sind, in der Werbeabteilung größer ist als im übrigen Unternehmen. [3 BE]

2.5

Geben Sie die Bedeutung von $y$ im Sachzusammenhang an. [2 BE]

2.6

Von den 2700 Beschäftigten antworten 1024 mit „Ja“. Es kann davon ausgegangen werden, dass der Anteil der Beschäftigten mit der Absicht, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen, unter denjenigen, denen die Frage A zugeteilt wurde, ebenso groß ist wie unter denjenigen, denen die Frage B zugeteilt wurde.

Zeigen Sie, dass aufgrund des Ergebnisses der Befragung davon auszugehen ist, dass etwa 20 % der Beschäftigten beabsichtigen, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen. [4 BE]

2.7

Eine beschäftigte Person, die mit „Ja“ geantwortet hat, wird zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person beabsichtigt, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen. [3 BE]

In einem großen Unternehmen sind $77\,\%$ aller Beschäftigten mit der Höhe ihres Gehalts zufrieden. $5\,\%$ aller Beschäftigten sind in der Werbeabteilung tätig und nicht zufrieden mit der Höhe ihres Gehalts. Insgesamt gehören der Werbeabteilung $12\,\%$ aller Beschäftigten an.

Im Rahmen einer Befragung soll ermittelt werden, wie viele Beschäftigte beabsichtigen, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen. Um zu vermeiden, dass Befragte aus Sorge vor negativen Konsequenzen nicht wahrheitsgemäß antworten, wird ein besonderes Verfahren angewendet. Dabei wird $70\,\%$ aller Beschäftigten die folgende Frage A zugeteilt, den übrigen Beschäftigten die folgende Frage B:

A: „Beabsichtigen Sie, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen?“

B: „Beabsichtigen Sie, für die nächsten zwölf Monate im Unternehmen zu bleiben?“

Nur der befragten Person selbst ist bekannt, welche Frage ihr zugeteilt wurde. Die befragte Person beantwortet die Frage wahrheitsgemäß.

Das Baumdiagramm im Material stellt einen Teil des beschriebenen Verfahrens dar.

Material

2.3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter 500 zufällig ausgewählten Beschäftigten mehr als 400 befinden, die mit ihrem Gehalt zufrieden sind.

2.4

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $1 - F(600; 0{,}23; 400)$ im Sachzusammenhang.

In einer Bäckerei werden handgemachte Berliner (ein Süßgebäck) hergestellt. In einer Tagesproduktion sind $60\,\%$ der Berliner mit Marmelade gefüllt, der Rest ist ungefüllt. $25\,\%$ der mit Marmelade gefüllten Berliner und $50\,\%$ der nicht mit Marmelade gefüllten Berliner sind mit Zuckerguss überzogen, die übrigen sind mit Puderzucker bestreut.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$M$: Der Berliner ist mit Marmelade gefüllt.

$Z$: Der Berliner ist mit Zuckerguss überzogen.

1.1

Stellen Sie den beschriebenen Sachzusammenhang in einem Baumdiagramm dar. (3 BE)

1.2

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $P(M \cap Z)$ im Sachzusammenhang und berechnen Sie den entsprechenden Wert. (3 BE)

1.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass insgesamt $35\,\%$ der Berliner mit Zuckerguss überzogen sind. (2 BE)

1.4

Berechnen Sie, welcher Anteil der mit Zuckerguss überzogenen Berliner mit Marmelade gefüllt ist. (2 BE)

In einer Bäckerei werden handgemachte Berliner (ein Süßgebäck) hergestellt. In einer Tagesproduktion sind $60\,\%$ der Berliner mit Marmelade gefüllt, der Rest ist ungefüllt. $25\,\%$ der mit Marmelade gefüllten Berliner und $50\,\%$ der nicht mit Marmelade gefüllten Berliner sind mit Zuckerguss überzogen, die übrigen sind mit Puderzucker bestreut.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$M$: Der Berliner ist mit Marmelade gefüllt.

$Z$: Der Berliner ist mit Zuckerguss überzogen.

Es werden aus der Tagesproduktion 10 Berliner zufällig ausgewählt und überprüft, ob sie mit Marmelade gefüllt sind. Gehen Sie davon aus, dass es sich bei diesem Zufallsexperiment um eine Bernoulli-Kette handelt.

1.5.1

Erörtern Sie, welchen Einfluss die Gesamtzahl der Berliner in der Tagesproduktion auf die Modellierung des Sachzusammenhangs mit einer Bernoulli-Kette hat.

1.5.2

Beschreiben Sie im gegebenen Sachzusammenhang ein Ereignis $E$, für das gilt:

$$P(E) = 0{,}4^{10} + 10\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4^9 + \binom{10}{2}\cdot 0{,}6^2\cdot 0{,}4^8 + \binom{10}{3}\cdot 0{,}6^3\cdot 0{,}4^7$$

und geben Sie die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ an.

1.5.3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

In einem großen Unternehmen werden Elektronikgeräte hergestellt. Erfahrungsgemäß sind $3\,\%$ der hergestellten Geräte defekt.

Zwei Mitarbeiter stellen jeweils 50 Berliner von Hand her und bestimmen deren Gewicht mit einer auf Gramm genauen Waage. Die Ergebnisse sind im Material dargestellt.

Material: Untersuchung des Gewichts der Berliner

Mitarbeiter A

Gewicht in Gramm

88

89

90

91

92

93

Anzahl Berliner

6

9

10

12

8

5

Mitarbeiter B

Gewicht in Gramm

88

89

90

91

92

93

Anzahl Berliner

2

5

20

16

6

1

2.1

Stellen Sie die Daten von Mitarbeiter A graphisch in einem Diagramm dar. [5 BE]

2.2

Zeigen Sie rechnerisch, dass der arithmetische Mittelwert des Gewichts der Berliner bei beiden Mitarbeitern jeweils gleich groß ist. [4 BE]

2.3

Erörtern Sie ohne weitere Rechnung, bei welchem der beiden Mitarbeiter die (empirische) Standardabweichung des Gewichts größer ist. [3 BE]

Mitarbeiter A

Mitarbeiter B

3

Beim Bezahlen an der Kasse bietet die Bäckerei bei einer Rabattaktion zwei Varianten an:

Variante 1: Der Kunde erhält $3\,\%$ Rabatt auf den Einkauf.

Variante 2: Es wird mit zwei herkömmlichen Spielwürfeln gewürfelt, die jeweils mit den Zahlen $1, 2, 3, 4, 5, 6$ beschriftet sind. Fallen dabei zwei Sechsen, bekommt der Kunde seinen Einkauf geschenkt. Andernfalls muss er den vollen Preis bezahlen.

Untersuchen Sie, welche Variante langfristig für den Kunden günstiger ist. [4 BE]

Variante 1

Variante 2