Aufgabe Vorschlag C1 · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die „Puerta de Europa“ in Madrid besteht aus zwei einander zugeneigten Türmen (Material 1), die jeweils die Form eines Spats aufweisen. Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, wobei jeweils gegenüberliegende Flächen kongruent und parallel zueinander sind.

Im Modell liegen die Bodenflächen beider Türme in der $x$-$y$-Ebene, die den Erdboden beschreibt. Die Dachflächen liegen in einer Ebene, die parallel zur $x$-$y$-Ebene verläuft, die Nord- und Südwände liegen jeweils in einer Ebene, die parallel zur $y$-$z$-Ebene verläuft. Die (positive) $x$-Achse zeigt in Richtung Süden, die (positive) $y$-Achse in Richtung Osten.

Die Türme haben jeweils eine Höhe von $114\text{ m}$. Der Ostturm hat unter anderem die Eckpunkte $A(1{,}75|6|0)$, $B(1{,}75|9{,}5|0)$, $D(-1{,}75|6|0)$ und $E(1{,}75|2{,}9|11{,}4)$.

Eine Längeneinheit entspricht dabei $10\text{ m}$.

1.1

Die Eckpunkte $A$, $B$ und $D$ begrenzen gemeinsam mit einem Punkt $C$ die quadratische Bodenfläche des Ostturms. Geben Sie den Eckpunkt $C$ an und bestimmen Sie den Flächeninhalt der Bodenfläche des Ostturms.

[4 BE]

1.2

Im Koordinatensystem in Material 2 ist die Dachfläche des Ostturms eingezeichnet. Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte $F$, $G$ und $H$ des Ostturms an. Zeichnen Sie den gesamten Ostturm in das Koordinatensystem ein.

[7 BE]

1.3

Zeigen Sie, dass der Neigungswinkel des Ostturms (in westlicher Richtung) gegenüber der Vertikalen etwa $15^\circ$ beträgt.

[3 BE]

2.1

Im Modell entspricht der Westturm einer Spiegelung des Ostturms an der x-z-Ebene.

Geben Sie eine Spiegelmatrix $S$ an, mit deren Hilfe man für einen beliebigen Punkt $P$ des Ostturms mit Hilfe der Gleichung $\vec{OP}' = S \cdot \vec{OP}$ den entsprechenden (gespiegelten) Punkt des Westturms ermitteln kann.

[3 BE]

2.2

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $A'$ des Westturms und geben Sie an, wie weit die beiden Türme am Boden voneinander entfernt sind.

[4 BE]