Aufgabe Vorschlag B1 – 1 · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Eine weitere Modellierung der Bakterienzahl in Abhängigkeit von der Zeit $t$ wird beschrieben durch die Funktion $h$. Dabei bedeutet:

$t$: Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn

$h(t)$: Anzahl der Bakterien in 1000

Gegeben ist die Ableitungsfunktion $h'$ der Funktion $h$ durch

$$h'(t) = 15000 \cdot k \cdot \frac{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}}{\left(\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 24\right)^2}, \quad k > 0.$$

Aufgabe 1

Blaualgen (oder auch Cyanobakterien) kommen in Gewässern wie z. B. in Badeseen vor. Sie vermehren sich vor allem bei hohen Wassertemperaturen in den Sommermonaten besonders schnell. Das kann für Badegäste an einem Badesee unangenehme Folgen haben: Neben dem Geruch nach Ammoniak kann es auch zu allergischen Reaktionen kommen.

Um die Situation der Badeseen besser einschätzen zu können, erhielten Forscher den Auftrag, das Vermehrungsverhalten der Blaualgen zu untersuchen. Dazu beobachteten sie einen Tag lang das Vermehrungsverhalten der Blaualgen in einer Petrischale bei einer Umgebungstemperatur von 21°C. Zu Beobachtungsbeginn befanden sich 1000 Bakterien in der Petrischale. Die Messwerte sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Zeit [in Stunden nach Beobachtungsbeginn] · 0 · 1 · 6 · 12 · 16 · 24

Anzahl der Bakterien · 1000 · 1300 · 3900 · 11400 · 17300 · 23000

1.1

Berechnen Sie jeweils die durchschnittliche Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde in den fünf aufeinanderfolgenden Zeitintervallen und beschreiben Sie die Veränderung der durchschnittlichen Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde. [6 BE]

Bakterien pro Stunde

Bakterien pro Stunde

Bakterien pro Stunde

Bakterien pro Stunde

Bakterien pro Stunde

1.2

Die Messwerte sollen durch eine geeignete Funktion modelliert werden. Dazu stehen zwei Funktionen $f$ und $g$ mit den folgenden Funktionsgleichungen zur Verfügung:

$f(t) = 0{,}011 \cdot t^5 - 0{,}722 \cdot t^4 + 13{,}21 \cdot t^3 - 27{,}62 \cdot t^2 + 315{,}1 \cdot t + 1000,\quad t \in [0; 24]$

$g(t) = -3{,}673 \cdot t^3 + 135{,}8 \cdot t^2 - 234{,}9 \cdot t + 1185,\quad t \in [0; 24]$

Hierbei gibt $t$ jeweils die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn an und $f(t)$ bzw. $g(t)$ die Anzahl der Bakterien.

Untersuchen Sie, welche der beiden Funktionen zur Modellierung der Messwerte besser geeignet ist. [4 BE]

1.3

Berechnen Sie mithilfe der Messwerte in der Tabelle die durchschnittliche Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde im Intervall $[6; 16]$ und ermitteln Sie jeweils diejenigen Stellen im Intervall $[6; 16]$, an denen die Funktion $f$ bzw. die Funktion $g$ genau diese Änderungsrate aufweist. Deuten Sie den Sachverhalt geometrisch. [7 BE]

Bakterien pro Stunde

1.4

Erläutern Sie unter Zuhilfenahme des Materials die Zeilen (1) bis (3) im Kasten und deuten Sie die rechte Seite der Äquivalenz in Zeile (4) geometrisch. [7 BE]

$q$ ist eine differenzierbare Funktion und $[a; b]$ ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs von $q$. $P(a \mid q(a))$ und $Q(b \mid q(b))$ sind Punkte des Graphen von $q$.

(1) $s(x) = \frac{q(b) - q(a)}{b - a} \cdot (x - b) + q(b) \implies s(a) = q(a)$ und $s(b) = q(b)$

(2) $d(x) = q(x) - s(x)$

(3) $d'(x) = q'(x) - \frac{q(b) - q(a)}{b - a}$

(4) $d'(x_z) = 0 \iff q'(x_z) = \frac{q(b) - q(a)}{b - a}$