Aufgabe Vorschlag C1 – 3 · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die „Puerta de Europa“ in Madrid besteht aus zwei einander zugeneigten Türmen (Material 1), die jeweils die Form eines Spats aufweisen. Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, wobei jeweils gegenüberliegende Flächen kongruent und parallel zueinander sind.

Im Modell liegen die Bodenflächen beider Türme in der $x$-$y$-Ebene, die den Erdboden beschreibt. Die Dachflächen liegen in einer Ebene, die parallel zur $x$-$y$-Ebene verläuft, die Nord- und Südwände liegen jeweils in einer Ebene, die parallel zur $y$-$z$-Ebene verläuft. Die (positive) $x$-Achse zeigt in Richtung Süden, die (positive) $y$-Achse in Richtung Osten.

Die Türme haben jeweils eine Höhe von $114\text{ m}$. Der Ostturm hat unter anderem die Eckpunkte $A(1{,}75|6|0)$, $B(1{,}75|9{,}5|0)$, $D(-1{,}75|6|0)$ und $E(1{,}75|2{,}9|11{,}4)$.

Eine Längeneinheit entspricht dabei $10\text{ m}$.

3 Beide Türme haben jeweils 26 Etagen, die alle die gleiche Höhe besitzen. Um die Etagen eines Turms mit einem Aufzug zu erreichen, wäre ein vertikaler Aufzugsschacht notwendig.

Zeigen Sie, dass es möglich ist, alle Etagen eines Turms mit nur einem am Boden beginnenden durchgängigen Aufzugsschacht zu erreichen, der in Nord-Süd-Richtung und in Ost-West-Richtung jeweils $3\text{ m}$ misst. Die Deckenstärken der Etagen und die Wandstärken der Außenwände sollen hierbei vernachlässigt werden.

[6 BE]