Abitur Hessen Mathematik 2021 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

1 Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3$.

1 a

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Punkt $(12|2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist und dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0|0)$ parallel zur x-Achse verläuft. [5 BE]

1 b

Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade $g$, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft. Zeichnen Sie in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0 \le x \le 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat. [7 BE]

g: y =

1 Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3$.

Für jede reelle Zahl $a$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$ gegeben.

c)

Beschreiben Sie, wie der Graph von $h_4$ aus dem Graphen von $h_3$ erzeugt werden kann.

1 Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3$.

Für jede reelle Zahl $a$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$ gegeben.

d)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den der Punkt $(4|f(4))$ auf dem Graphen von $h_a$ liegt.

e)

Es gibt genau einen positiven Wert von $a$, für den die Graphen von $f$ und $h_a$ genau zwei gemeinsame Punkte haben. Ermitteln Sie diesen Wert von $a$.

1 Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3$.

f)

Die Gleichung $f(x) = h_{3{,}75}(x)$ hat genau die drei Lösungen $x_1 = 0$, $x_2 = 6$ und $x_3 = 10$ und es gilt:$$\int_{0}^{10} (f(x) - h_{3{,}75}(x))\,dx = 0$$Deuten Sie dies mit Bezug auf die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$.

1 Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3$.

2 Ein Unternehmen lagert Glyzerin in einem Tank. Die momentane Änderungsrate des Tankinhalts kann für $0 \leq x \leq 20$ mithilfe der Funktion $f$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Zu Beobachtungsbeginn befinden sich im Tank $1200\text{ kg}$ Glyzerin.

a)

Der Punkt $(4 \mid 240)$ liegt auf dem Graphen von $f$. Interpretieren Sie die Koordinaten dieses Punkts im Sachzusammenhang. [2 BE]

b)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten.

[2 BE]

c)

Bestimmen Sie grafisch die Zunahme des Tankinhalts zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn. [3 BE]

d)

Berechnen Sie, wie viel Glyzerin 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank enthalten ist. [4 BE]