Abitur NRW Mathematik 2025 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = \frac{1}{2k} \cdot x^2 \cdot (x - 2k)^2 \quad \text{und} \quad k \in \mathbb{R}^+.$$

Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

a

Begründen Sie, dass $f_k$ für jeden Wert von $k$ genau zwei Nullstellen hat, und geben Sie diese an.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = \frac{1}{2k} \cdot x^2 \cdot (x - 2k)^2 \quad \text{und} \quad k \in \mathbb{R}^+.$$

Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

b

Der Hochpunkt von $G_k$ hat zu den beiden Tiefpunkten von $G_k$ denselben Abstand. Berechnen Sie diesen Abstand.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = \frac{1}{2k} \cdot x^2 \cdot (x - 2k)^2 \quad \text{und} \quad k \in \mathbb{R}^+.$$

Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

c

Betrachtet wird die Fläche, die $G_k$, die x-Achse und die beiden Geraden mit den Gleichungen $x = -1$ und $x = 1$ einschließen. Sie setzt sich aus mehreren Flächenstücken zusammen. Beurteilen Sie die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen:

Für jeden Wert von $k$ gibt der Term $\int_{-1}^1 f_k(x)\,\mathrm{d}x$ den Inhalt der betrachteten Fläche an.

d

Für jeden Wert von $k$ schließen $G_k$ und der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h_k$ mit $h_k(x) = \frac{k}{2} \cdot (x - 2k)^2$ eine Fläche ein, die sich aus zwei Flächenstücken zusammensetzt. Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist:

Für $k > 3$ ist der Inhalt der Fläche kleiner als $k^5$.

Aufgabe 2

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet. Für ein bestimmtes Regenereignis wird die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(x) = \mathrm{e}^x \cdot f_{2{,}5}(x)$ für $0 \le x \le 5$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden, die seit Beginn des Zuflusses in das Auffangbecken vergangen ist, und $r(x)$ die momentane Zuflussrate in $\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}$ (Kubikmeter pro Stunde). Die Funktion $f_{2{,}5}$ ist die Funktion der Schar aus Aufgabe 1 mit $k = 2{,}5$.

a

Berechnen Sie die größte und die kleinste momentane Zuflussrate im betrachteten Zeitraum. [4 BE]

b

Im Intervall $[0; 5]$ besitzt $r$ genau zwei Wendestellen $x_0$ und $x_1$. Außerdem gilt $r'(x_0) \approx 100{,}5$ und $r'(x_1) \approx -240{,}2$ sowie $r'(0) = 0$ und $r'(5) = 0$. Beschreiben Sie die Bedeutung des Wertes $r'(x_0)$, die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang. [3 BE]

Aufgabe 2

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet. Für ein bestimmtes Regenereignis wird die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(x) = \mathrm{e}^x \cdot f_{2{,}5}(x)$ für $0 \le x \le 5$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden, die seit Beginn des Zuflusses in das Auffangbecken vergangen ist, und $r(x)$ die momentane Zuflussrate in $\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}$ (Kubikmeter pro Stunde). Die Funktion $f_{2{,}5}$ ist die Funktion der Schar aus Aufgabe 1 mit $k = 2{,}5$.

c

Die Abbildung zeigt den Graphen von $r$ mit einigen Eintragungen.

Erläutern Sie, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann: $$\int_{4}^{5} r(x)\,\mathrm{d}x < 120$$ Interpretieren Sie diese Aussage im Sachzusammenhang. [4 BE]

d

Zu Beginn des Zuflusses ist das Auffangbecken bereits mit $186\,\mathrm{m^3}$ Regenwasser gefüllt. Nach dreieinhalb Stunden wird eine Pumpe eingeschaltet. Diese pumpt bis zum Ende des betrachteten Zeitraums Wasser aus dem Auffangbecken mit einer konstanten Rate ab. Die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken wird dabei weiterhin durch $r$ beschrieben. Geben Sie einen Term an, der das Wasservolumen im Auffangbecken zu einem beliebigen Zeitpunkt nach dem Einschalten der Pumpe in Kubikmetern beschreibt. [3 BE]

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_b: x \mapsto \frac{1}{16}x^2 \cdot \mathrm{e}^{-b \cdot x + 4b}$ mit $b \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_b$ wird mit $G_b$ bezeichnet.

a

Geben Sie das Verhalten von $f_b$ für $x \to -\infty$ und für $x \to +\infty$ an. Zeigen Sie, dass der Funktionswert von $f_b$ an der Stelle $4$ unabhängig von $b$ ist.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_b: x \mapsto \frac{1}{16}x^2 \cdot \mathrm{e}^{-b \cdot x + 4b}$ mit $b \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_b$ wird mit $G_b$ bezeichnet.

b

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der beiden Extrempunkte von $G_b$. Berechnen Sie einen Wert von $b$, für den die beiden Extrempunkte den Abstand $6$ haben, und geben Sie diesen Wert auf Hundertstel gerundet an.

Tiefpunkt:

Hochpunkt:

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_b: x \mapsto \frac{1}{16}x^2 \cdot \mathrm{e}^{-b \cdot x + 4b}$ mit $b \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_b$ wird mit $G_b$ bezeichnet.

c

Begründen Sie, ohne Terme von Stammfunktionen zu bestimmen, dass die folgende Aussage wahr ist: Der Graph jeder Stammfunktion von $f_b$ hat mit der positiven $x$-Achse höchstens einen gemeinsamen Punkt.

2

Betrachtet wird nun die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r: x \mapsto \frac{1}{16}x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}25x+1}$. Somit ist $r$ die Funktion $f_{0{,}25}$ der Schar aus Aufgabe 1. Ihr Graph wird mit $G$ bezeichnet.

Die Konstruktion einer Wasserrutsche, die aus einer Rutschbahn und einem horizontalen Startpodest besteht, wird geplant. Dabei beschreibt $G$ für $-4 \leq x \leq 10$ die Profillinie der Rutschbahn und die $x$-Achse den horizontalen Boden sowie die Wasseroberfläche (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei $1\text{ m}$ in der Realität.

a

Berechnen Sie die Höhe des Startpodests über dem Boden und die Höhe des Endpunkts der Rutschbahn über der Wasseroberfläche.

2

Betrachtet wird nun die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r: x \mapsto \frac{1}{16}x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}25x+1}$. Somit ist $r$ die Funktion $f_{0{,}25}$ der Schar aus Aufgabe 1. Ihr Graph wird mit $G$ bezeichnet.

Die Konstruktion einer Wasserrutsche, die aus einer Rutschbahn und einem horizontalen Startpodest besteht, wird geplant. Dabei beschreibt $G$ für $-4 \leq x \leq 10$ die Profillinie der Rutschbahn und die $x$-Achse den horizontalen Boden sowie die Wasseroberfläche (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei $1\text{ m}$ in der Realität.

b

Betrachtet wird der Winkel $\beta$, der im Sachzusammenhang von Bedeutung ist. Mithilfe der folgenden beiden Gleichungen kann die Größe des Winkels $\beta$ ermittelt werden:

$$r'(-4) = \tan(\alpha), \quad \alpha \in ]-90^\circ; 0^\circ[$$$$\beta = 180^\circ - |\alpha|$$

Zeichnen Sie die Winkel $\alpha$ und $\beta$ in Abbildung 1 geeignet ein und geben Sie die Bedeutung von $\beta$ im Sachzusammenhang an.

d

In der folgenden Untersuchung wird erneut nur die Profillinie der Rutschbahn betrachtet.

Um die Sicherheit der Badegäste zu erhöhen, soll eine in alle Richtungen drehbare Überwachungskamera angebracht werden, deren Position im Modell durch den Punkt $(12 \mid 3)$ beschrieben wird. Die Sichtlinie der Kamera in Richtung eines Punktes der Rutschbahn, der durch $(a \mid r(a))$ mit $-4 \le a \le 10$ dargestellt wird, kann durch die Gerade $g_a$ mit der Gleichung$$y = \frac{3-r(a)}{12-a} \cdot x + \left(3 - \frac{3-r(a)}{12-a} \cdot 12\right)$$beschrieben werden.

Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Teil der Rutschbahn, der durch den rechtsgekrümmten Teil von $G$ dargestellt wird, von der Kamera vollständig einsehbar ist.

2

Betrachtet wird nun die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r: x \mapsto \frac{1}{16}x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}25x+1}$. Somit ist $r$ die Funktion $f_{0{,}25}$ der Schar aus Aufgabe 1. Ihr Graph wird mit $G$ bezeichnet.

Die Konstruktion einer Wasserrutsche, die aus einer Rutschbahn und einem horizontalen Startpodest besteht, wird geplant. Dabei beschreibt $G$ für $-4 \leq x \leq 10$ die Profillinie der Rutschbahn und die $x$-Achse den horizontalen Boden sowie die Wasseroberfläche (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei $1\text{ m}$ in der Realität.

c

Da die $1{,}5\text{ m}$ breite Rutschbahn durch vertikale Wände begrenzt werden soll, kann sich Wasser in der Mulde sammeln. Berechnen Sie das Volumen des Wassers in der Mulde in Litern, wenn es dort an der tiefsten Stelle eine Höhe von $5\text{ cm}$ hat (vgl. Abbildung 2).