Abitur NRW Mathematik 2018 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_r$ mit $f_r(x) = -\frac{1}{r} \cdot x^2 + \frac{4}{r} \cdot x + 2$ und $r \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

a)

Skizzieren Sie in einem Koordinatensystem den Graphen von $f_6$.

b)

Betrachtet wird der folgende Term:

$$\int_{-2}^0 f_6(x)\,\mathrm{d}x + 4 \cdot 2 + \int_4^6 f_6(x)\,\mathrm{d}x$$

Markieren Sie in Ihrer Skizze zu Teilaufgabe 1a ein Flächenstück, dessen Inhalt mit dem gegebenen Term berechnet werden kann, und ordnen Sie jedem Summanden des Terms einen passenden Teil dieses Flächenstücks zu.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_r$ mit $f_r(x) = -\frac{1}{r} \cdot x^2 + \frac{4}{r} \cdot x + 2$ und $r \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Zeigen Sie, dass jede Funktion der Schar bei $x = 2$ ein Extremum hat. Geben Sie in Abhängigkeit von $r$ an, ob es sich dabei um ein Minimum oder ein Maximum handelt, und nennen Sie den zugehörigen Funktionswert.

c.1

c.2

Für $r > 0$:

Für $r < 0$:

c.3

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_r$ mit $f_r(x) = -\frac{1}{r} \cdot x^2 + \frac{4}{r} \cdot x + 2$ und $r \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

d)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen.

e)

Ermitteln Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_r$ in Abhängigkeit von $r$.

Für $r > -2$ und $r \neq 0$ sind $A_r(2 - \sqrt{4+2r} \mid 0)$, $B_r(2 + \sqrt{4+2r} \mid 0)$ und $C(4 \mid 2)$ Punkte des Graphen von $f_r$. Es soll untersucht werden, für welche Werte von $r$ das Dreieck $A_r B_r C$ rechtwinklig ist.

f)

Begründen Sie jede der beiden folgenden Aussagen:

Weder bei $A_r$ noch bei $B_r$ kann ein rechter Winkel liegen.

Für $-2 < r < 0$ ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

g)

Jeder der beiden folgenden Ansätze liefert die gesuchten Werte von $r$:

$$\begin{pmatrix} -\sqrt{4+2r} - 2 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sqrt{4+2r} - 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 0$$

$$\frac{2}{2 + \sqrt{4+2r}} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{4+2r}} = -1$$

Erläutern Sie die beiden Ansätze.

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

2 Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ P. Diese kann für $x \ge 0$ mithilfe der gegebenen Funktion $f_4$ beschrieben werden.

a

Weisen Sie nach, dass die Flugweite etwa $5{,}46\text{ m}$ beträgt. [2 BE]

Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von $6{,}3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ kann die momentane Höhe des Papierfliegers modellhaft durch $y(t) = -5t^2 + 4{,}45t + 2$ und seine momentane Geschwindigkeit näherungsweise durch $v(t) = \sqrt{100t^2 - 89t + 40}$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit dem Abwurf vergangene Zeit in Sekunden, $y(t)$ die Höhe in Metern und $v(t)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

b

Weisen Sie auf der Grundlage dieses Modells nach, dass die Flugzeit etwa $1{,}22\text{ s}$ beträgt. [2 BE]

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Aufgabe 2

Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ P. Diese kann für $x \ge 0$ mithilfe der gegebenen Funktion $f_4$ beschrieben werden.

Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von $6{,}3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ kann die momentane Höhe des Papierfliegers modellhaft durch $y(t) = -5t^2 + 4{,}45t + 2$ und seine momentane Geschwindigkeit näherungsweise durch $v(t) = \sqrt{100t^2 - 89t + 40}$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit dem Abwurf vergangene Zeit in Sekunden, $y(t)$ die Höhe in Metern und $v(t)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde. (Die Flugzeit beträgt etwa $1{,}22\,\text{s}$.)

c)

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Geschwindigkeit des Papierfliegers unmittelbar vor dem Auftreffen auf dem Boden und beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $\int_0^{1{,}22} v(t)\,\mathrm{d}t$ im Sachzusammenhang.

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Aufgabe 3

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich entlang einer Flugkurve des Typs S bewegt. Diese kann im ersten Teil mithilfe der Funktion $f_4$ mit $f_4(x) = -\frac{1}{4}x^2 + x + 2$ beschrieben werden, im zweiten Teil ab einer horizontalen Entfernung von $0{,}5\,\text{m}$ vom Abwurfpunkt mithilfe einer Funktion $s$ mit $s(x) = \frac{a}{x - 1{,}5} + b$ und $a, b \in \mathbb{R}$; dabei weist die Flugkurve keinen Knick auf. Der Papierflieger steigt bis er einen Steigungswinkel mit einer Größe von $85^\circ$ erreicht und stürzt dann vertikal ab.

a)

Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$.

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Aufgabe 3

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich entlang einer Flugkurve des Typs S bewegt. Der zweite Teil wird ab $x = 0{,}5$ beschrieben durch $s(x) = \frac{-0{,}75}{x - 1{,}5} + 1{,}6875$. Der Papierflieger steigt bis er einen Steigungswinkel mit einer Größe von $85^\circ$ erreicht und stürzt dann vertikal ab.

b)

Zeigen Sie, dass der Papierflieger den Steigungswinkel mit einer Größe von $85^\circ$ in einer horizontalen Entfernung von etwa $1{,}24\,\text{m}$ vom Abwurfpunkt erreicht.

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Aufgabe 3

Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[a; b]$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit erster Ableitungsfunktion $h'$, so gilt für die Länge $L$ dieses Kurvenstücks:$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (h'(x))^2}\,\mathrm{d}x$$

c)

Ermitteln Sie die Länge der Flugkurve des Papierfliegers.

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

4 Die größten Flugweiten erzielen Papierflieger mit Flugkurven des Typs G. Eine solche Flugkurve lässt sich im ersten Teil mithilfe der Funktion $f_4$ beschreiben. Ab einem bestimmten Punkt kann der weitere Verlauf der Flugkurve bis zum Boden durch eine Gerade dargestellt werden. Der Übergang vom ersten zum zweiten Teil der Flugkurve erfolgt ohne Knick. Die Flugweite beträgt $17{,}6\text{ m}$. Ermitteln Sie, in welcher Höhe der gekrümmte Teil der Flugkurve in den geradlinigen übergeht.

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto -\frac{1}{10^5} x^4 + \frac{4}{9375} x^3 - \frac{13}{250} x^2 + \frac{8}{5} x + 140$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$.

a)

Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f$ und bestimmen Sie die Art dieser Extrempunkte.

(zur Kontrolle: Die Extremstellen sind 20, 100 und 200.)

b)

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse an. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass $f$ genau zwei Nullstellen hat.

c)

Für $50 < x < 130$ gibt es ein Paar von x-Werten, die sich um 60 unterscheiden und für die die zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen. Bestimmen Sie dieses Paar von x-Werten und geben Sie den zugehörigen Funktionswert an.

d)

Begründen Sie, dass sich aus den Informationen aus Teilaufgabe 1c schließen lässt, dass $f$ für $50 < x < 130$ mindestens eine Extremstelle hat.

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto -\frac{1}{10^5} x^4 + \frac{4}{9375} x^3 - \frac{13}{250} x^2 + \frac{8}{5} x + 140$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$.

Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen und der Gerade mit der Gleichung $x = 240$ ein Flächenstück ein.

e)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.

f)

Die folgende Aussage bezieht sich auf eine zweite Gerade, die das Flächenstück teilt:

Für $u \approx 217$ gilt: $\frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u) + \int_u^{240} f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3} \cdot \int_0^{240} f(x)\,\mathrm{d}x$

Veranschaulichen Sie die Aussage unter Verwendung einer geeigneten Skizze.

2

Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. die Konzentration der Glukose im Blut, ständig zu messen.

Die gegebene Funktion $f$ beschreibt für $0 \le x \le 240$ modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts eines Patienten. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter ($\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$). Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$.

a

Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor. Ermitteln Sie für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukosewerte über $170\,\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{dl}}$ gemessen wurden. [3 BE]

Zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion $g$ beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:

Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion $f$ oder mithilfe der Funktion $g$ ermittelt werden.

Zur Bestimmung eines Funktionsterms von $g$ sollen zunächst die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen$$h_k: x \mapsto 50 - 50 \cdot (k \cdot x + 1)^2 \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot x}\quad \text{mit } k \in \mathbb{R}^+$$betrachtet werden.

g

Die für die Funktion $g$ angegebene Bedingung lässt sich erfüllen, wenn der Graph von $g$ durch eine geeignete Verschiebung aus dem Graphen von $h_k$ für $k = \frac{308}{3125}$ hervorgeht. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie einen Funktionsterm von $g$ an. [4 BE]

2

Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. die Konzentration der Glukose im Blut, ständig zu messen.

Die gegebene Funktion $f$ beschreibt für $0 \le x \le 240$ modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts eines Patienten. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter ($\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$). Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$.

b

Berechnen Sie für den betrachteten Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt. [4 BE]

c

Veranschaulichen Sie jeden der folgenden Terme in der Abbildung durch eine Gerade und geben Sie jeweils die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an: [4 BE]

Term I:

$$\frac{f(100) - f(20)}{100 - 20}$$

Term II:

$$\lim_{x \to 60} \frac{f(60) - f(x)}{60 - x}$$

d

Ermitteln Sie für den betrachteten Zeitraum, wie lange die momentane Änderungsrate des Glukosewerts insgesamt zwischen $-0{,}3\,\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{dl}}$ pro Minute und $+0{,}3\,\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{dl}}$ pro Minute lag. [4 BE]

Zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion $g$ beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:

Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion $f$ oder mithilfe der Funktion $g$ ermittelt werden.

Zur Bestimmung eines Funktionsterms von $g$ sollen zunächst die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen$$h_k: x \mapsto 50 - 50 \cdot (k \cdot x + 1)^2 \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot x}\quad \text{mit } k \in \mathbb{R}^+$$betrachtet werden.

f

Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung von $h_k$ für den Zeitpunkt $0$ ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die $f$ für den Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert. [2 BE]

2

Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. die Konzentration der Glukose im Blut, ständig zu messen.

Die gegebene Funktion $f$ beschreibt für $0 \le x \le 240$ modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts eines Patienten. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter ($\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$). Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$.

e)

Der Mittelwert der Funktionswerte von $f$ für $x \in [a; b]$ kann mit dem folgenden Term berechnet werden:

$$\frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

Berechnen Sie damit für den Zeitraum von $20$ Minuten bis $100$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den Mittelwert aller Glukosewerte. Bestimmen Sie dessen prozentuale Abweichung vom Durchschnittswert derjenigen Glukosewerte, die in diesem Zeitraum im Abstand von jeweils zehn Minuten, beginnend mit dem Zeitpunkt $20$ Minuten nach Beobachtungsbeginn, gemessen wurden.

mg/dl

mg/dl

%

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die Funktion $f_k: x \mapsto \sqrt{k \cdot x^2 + 400}$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ betrachtet.

a)

Skizzieren Sie den Graphen von $f_5$ und geben Sie dessen Symmetrie an. Begründen Sie, dass der Graph von $f_k$ für jeden Wert von $k$ die gleiche Symmetrie wie der Graph von $f_5$ aufweist.

b)

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass $f_k$ keine Nullstellen hat.

f)

Zusätzlich ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{10}x^2 + 20$ gegeben.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $k$, für die der Graph von $f_k$ und der Graph von $g$ mehr als einen gemeinsamen Punkt haben.

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die Funktion $f_k: x \mapsto \sqrt{k \cdot x^2 + 400}$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ betrachtet.

c)

Ermitteln Sie die Koordinaten und die Art des Extrempunkts des Graphen von $f_k$.

d)

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $c \in \mathbb{R}$, für die die Tangente an den Graphen von $f_5$ im Punkt $(c \mid f_5(c))$ die y-Achse in einem Punkt schneidet, dessen y-Koordinate größer als 10 ist.

e)

Zeigen Sie, dass für jeden Wert von $k$ keine der Tangenten an den Graphen von $f_k$ durch den Koordinatenursprung verläuft.

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die Funktion $f_k: x \mapsto \sqrt{k \cdot x^2 + 400}$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ betrachtet.

Zusätzlich ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{10} \cdot x^2 + 20$ gegeben.

Die mittlere Abweichung der Funktionswerte von $f_5$ und $g$ in einem Intervall $[a; b]$ kann mit dem Term $\frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b |f_5(x) - g(x)| \mathrm{d}x$ berechnet werden.

g)

Bestimmen Sie damit die mittlere Abweichung der Funktionswerte von $f_5$ und $g$ im Intervall $[0; 15]$.

h)

Die mittlere Abweichung der Funktionswerte von $f_5$ und $g$ im Intervall $[0; 15]$ könnte auch mit dem Term

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10} \cdot \int_0^{10} (f_5(x) - g(x)) \mathrm{d}x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \int_{10}^{15} (g(x) - f_5(x)) \mathrm{d}x$$

berechnet werden. Beschreiben Sie einen sinnvollen Gedankengang, mit dem man zu diesem Term gelangt.

Abbildung 1 zeigt in einem Koordinatensystem schematisch den Aufbau einer Hängebrücke.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die Materialstärken sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

a)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $r$, für den der Verlauf des Drahtseils bezüglich seiner beiden Befestigungspunkte an den Pfeilern mithilfe des Graphen von $g_r$ beschrieben wird.

[zur Kontrolle: $r = 0{,}0008448$]

e)

Das belastete Drahtseil der Brücke ist $514{,}5\text{ m}$ lang. Im Folgenden soll angenommen werden, dass das unbelastete Drahtseil die gleiche Länge hat.

Die Länge des Graphen von $h_{s,t}$ zwischen den Punkten $(-v \mid h_{s,t}(-v))$ und $(v \mid h_{s,t}(v))$ mit $v \in \mathbb{R}^+$ kann mit dem Term $s \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{v}{s}} - \mathrm{e}^{-\frac{v}{s}}\right)$ berechnet werden.

Bestimmen Sie für diejenige Funktion $h_{s,t}$, mithilfe derer das unbelastete Drahtseil beschrieben werden könnte, die passenden Werte von $s$ und $t$.

[zur Kontrolle: $s \approx 601{,}9$, $t \approx -581{,}8$]

Abbildung 1 zeigt in einem Koordinatensystem schematisch den Aufbau einer Hängebrücke.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die Materialstärken sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

b)

Für eine Werbeaktion wurde auf einer Seite der Fahrbahn der Bereich zwischen Fahrbahn und Drahtseil über die gesamte Länge der Brücke bis zu einer Höhe von $25\text{ m}$ über der Fahrbahn mit bedruckten Kunststoffplanen bespannt. Bestimmen Sie den Inhalt der bespannten Fläche.

Abbildung 1 zeigt in einem Koordinatensystem schematisch den Aufbau einer Hängebrücke.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die Materialstärken sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

c)

Abbildung 2 zeigt die Graphen dreier Funktionen $h_{s,t}$, die sich nur im Wert von $s$ unterscheiden.

Ordnen Sie die Graphen nach der Größe des Werts von $s$, beginnend mit dem kleinsten. Begründen Sie Ihre Reihenfolge.

Abbildung 1 zeigt in einem Koordinatensystem schematisch den Aufbau einer Hängebrücke.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die Materialstärken sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

d)

Geben Sie für diejenige Funktion $h_{s,t}$, mithilfe derer das unbelastete Drahtseil beschrieben werden könnte, an, ob der Wert von $s$ positiv oder negativ ist. Begründen Sie Ihre Angabe.

f)

Bestimmen Sie die Steigungen des belasteten und des unbelasteten Drahtseils jeweils in den beiden Befestigungspunkten. Begründen Sie unter Verwendung dieser Steigungen, dass das unbelastete Drahtseil nicht vollständig oberhalb oder unterhalb des belasteten verlaufen würde.