Abitur NRW Mathematik 2018 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}\cdot (x^3 - 15x^2 + 50x)$.

a

Zeigen Sie, dass $G_f$ im Punkt $W(5|0)$ einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}\cdot (x^3 - 15x^2 + 50x)$.

b)

$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{8}\cdot (x^3 - 25x)$ durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Geben Sie an, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion $g$, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

f)

Betrachtet wird eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$. Abbildung 2 stellt $h(x) - f(x)$ in Abhängigkeit von $x$ dar.

Beschreiben Sie für $x \in [0; 5]$ die gegenseitige Lage der Graphen von $f$ und $h$. Gehen Sie dabei – für den genannten Bereich – auf die Bedeutung der Schnittpunkte des abgebildeten Graphen mit der x-Achse und auf die Bedeutung der x-Koordinate des Tiefpunkts dieses Graphen ein.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}\cdot (x^3 - 15x^2 + 50x)$.

c)

Betrachtet wird das Dreieck $ABC$ mit $A(0|0)$, $B(4|0)$ und $C(4|f(4))$. Rotiert dieses Dreieck um seine Seite $\overline{AB}$, so entsteht ein Körper. Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche dieses Körpers.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}\cdot (x^3 - 15x^2 + 50x)$.

d)

Berechnen Sie $\int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x$.

e)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass $\int_0^8 f(x)\,\mathrm{d}x < \int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x$ gilt.

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion $K: x \mapsto x^3 - 12x^2 + 50x + 20$ mit $x \in [0; 9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $K$.

Die Funktion $E$ mit $E(x) = 23x$ gibt für $0 \le x \le 9$ den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x) = E(x) - K(x)$. Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

a

Geben Sie mithilfe von Abbildung 3 die Produktionsmenge an, bei der die Kosten 125 000 Euro betragen.

b

Geben Sie das Monotonieverhalten von $K$ an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.

c

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Je größer die Produktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produktion eines zusätzlichen Kubikmeters der Flüssigkeit verursacht.

d

Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

e

Zeichnen Sie den Graphen von $E$ in Abbildung 3 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion $K: x \mapsto x^3 - 12x^2 + 50x + 20$ mit $x \in [0; 9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $K$.

Die Funktion $E$ mit $E(x) = 23x$ gibt für $0 \le x \le 9$ den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x) = E(x) - K(x)$. Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

f

Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.