Abitur NRW Mathematik 2019 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $k$ mit $k(x) = \frac{1}{40} \cdot (x^3 - 30x^2 + 288x - 815)$ und $x \in \mathbb{R}$.

Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen. Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für $8{,}5 \le x \le 17{,}5$ modellhaft durch die Funktion $k$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und $k(x)$ die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter $\left(\frac{\text{mmol}}{\text{l}}\right)$.

Der Tabelle können einzelne Werte entnommen werden, die während des Tests gemessen wurden:

Geschwindigkeit in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ · 9 · 13 · 17

Laktatkonzentration in $\frac{\text{mmol}}{\text{l}}$ · 1,92 · 1,44 · 8,09

a)

Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung der Laktatkonzentration, die das Modell für eine Geschwindigkeit von $13\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$ liefert, vom zugehörigen Messwert.

%

b)

Bestimmen Sie im Modell mithilfe von Abbildung 1 die Geschwindigkeit, ab der die Laktatkonzentration ansteigt, sowie die Geschwindigkeit, bei der die Laktatkonzentration $3{,}25\ \frac{\text{mmol}}{\text{l}}$ überschreitet.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $k$ mit $k(x) = \frac{1}{40} \cdot (x^3 - 30x^2 + 288x - 815)$ und $x \in \mathbb{R}$.

Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen. Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für $8{,}5 \le x \le 17{,}5$ modellhaft durch die Funktion $k$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und $k(x)$ die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter $\left(\frac{\text{mmol}}{\text{l}}\right)$.

Der Tabelle können einzelne Werte entnommen werden, die während des Tests gemessen wurden:

Geschwindigkeit in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ · 9 · 13 · 17

Laktatkonzentration in $\frac{\text{mmol}}{\text{l}}$ · 1,92 · 1,44 · 8,09

c)

Ermitteln Sie rechnerisch, bei welcher Geschwindigkeit die Laktatkonzentration im Modell am stärksten abnimmt.

d)

Berechnen Sie im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von $12{,}0\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$ bis $17{,}5\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$ die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.

mmol/(l·(km/h))

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $k$ mit $k(x) = \frac{1}{40} \cdot (x^3 - 30x^2 + 288x - 815)$ und $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph von $k$ ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $W\left(10 \mid \frac{13}{8}\right)$. Betrachtet werden die Geraden, die durch $W$ verlaufen.

a)

Eine Gerade durch $W$ mit negativer Steigung hat mit dem Graphen von $k$ keinen weiteren Punkt gemeinsam. Ermitteln Sie alle Steigungen, die diese Gerade haben könnte.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $k$ mit $k(x) = \frac{1}{40} \cdot (x^3 - 30x^2 + 288x - 815)$ und $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph von $k$ ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $W\left(10 \mid \frac{13}{8}\right)$. Betrachtet werden die Geraden, die durch $W$ verlaufen.

b)

Die y-Koordinate des Schnittpunkts einer der durch $W$ verlaufenden Geraden mit der y-Achse wird mit $n$ bezeichnet. Stellen Sie einen Term auf, der $n$ in Abhängigkeit von der Steigung $m$ dieser Gerade angibt.

c)

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{13}{40}\cdot(x - 5)$ durch $W$ verläuft. Zeichnen Sie diese Gerade in die Abbildung 1 ein.

d)

Beschreiben Sie, wie man die Lösungen der Gleichung $k(x) - g(x) = 0$ grafisch ermitteln kann. Geben Sie die Lösungen der Gleichung an.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $k$ mit $k(x) = \frac{1}{40} \cdot (x^3 - 30x^2 + 288x - 815)$ und $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph von $k$ ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $W\left(10 \mid \frac{13}{8}\right)$. Betrachtet werden die Geraden, die durch $W$ verlaufen.

e)

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass $\int_5^{15} k(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot (15 - 5) \cdot k(15)$ gilt.

f)

Begründen Sie mithilfe der Abbildung 1, dass es eine reelle Zahl $z$ mit $4 < z < 5$ gibt, für die $\int_z^{z+1} k(x)\,\mathrm{d}x = 0$ gilt.

Neben der Funktion $g$ aus Aufgabe 2 wird im Folgenden die Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{40}{13} \cdot \frac{1}{x-5}$ und $x \in \mathbb{R} \setminus \{5\}$ betrachtet. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

a)

Beschreiben Sie, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen der Funktion $i$ mit $i(x) = \frac{1}{x}$ und $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ hervorgeht. [2 BE]

b)

Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Punkte, die die Graphen von $g$ und $h$ gemeinsam haben. [4 BE]

$x_1 =$

$y_1 =$

$x_2 =$

$y_2 =$

Neben der Funktion $g$ aus Aufgabe 2 wird im Folgenden die Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{40}{13} \cdot \frac{1}{x-5}$ und $x \in \mathbb{R} \setminus \{5\}$ betrachtet. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

c)

Begründen Sie, dass es keine Gerade gibt, die sowohl Tangente des Graphen von $g$ als auch Tangente des Graphen von $h$ ist. [2 BE]

Neben der Funktion $g$ aus Aufgabe 2 wird im Folgenden die Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{40}{13} \cdot \frac{1}{x-5}$ und $x \in \mathbb{R} \setminus \{5\}$ betrachtet. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

d)

Geben Sie eine Möglichkeit für Werte von $a, b \in \;]{-\infty}; 5[$ und $c, d \in \;]5; +\infty[$ an, für die

$$\int_a^b h(x)\,\mathrm{d}x \cdot \int_c^d h(x)\,\mathrm{d}x > 0$$

gilt. Begründen Sie Ihre Angabe. [3 BE]

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto -kx \cdot (x - 8)$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{4}}$.

Betrachtet werden die Trapeze mit den Eckpunkten $A(0 \mid 0)$, $B(8 \mid 0)$, $C_u(8-u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$ und $D_u(u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$, wobei $u$ alle Werte des Intervalls $]0; 4[$ annimmt.

a

Geben Sie die Nullstellen von $f_k$ an. [2 BE]

$x_1 =$, $x_2 =$

f

Zeichnen Sie das Trapez für $u = 1$ in die Abbildung ein. [2 BE]

g

Geben Sie einen Term an, mit dem die Länge der beiden gleich langen Schenkel des Trapezes $A B C_u D_u$ berechnet werden kann. [2 BE]

h

Der Flächeninhalt des Trapezes $A B C_u D_u$ kann mit dem Term $(8 - u) \cdot f_{\frac{1}{4}}(u)$ berechnet werden. Beschreiben Sie eine geometrische Überlegung, mit der sich dieser Term herleiten lässt. [4 BE]

j

Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises, auf dem die Punkte $A$, $B$ und $E(4 \mid 8)$ liegen. [4 BE]

$M($ $\mid$ $)$

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto -kx \cdot (x - 8)$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{4}}$.

Betrachtet werden die Trapeze mit den Eckpunkten $A(0 \mid 0)$, $B(8 \mid 0)$, $C_u(8-u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$ und $D_u(u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$, wobei $u$ alle Werte des Intervalls $]0; 4[$ annimmt.

b

Begründen Sie, dass der Punkt $(4 \mid 16k)$ der Hochpunkt von $G_k$ ist. [3 BE]

c

Bestimmen Sie den Abstand der Hochpunkte von $G_k$ und $G_{k+1}$. [2 BE]

i

Unter den betrachteten Trapezen hat eines den größten Flächeninhalt. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $u$. [5 BE]

$u =$

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto -kx \cdot (x - 8)$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{4}}$.

Betrachtet werden die Trapeze mit den Eckpunkten $A(0 \mid 0)$, $B(8 \mid 0)$, $C_u(8-u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$ und $D_u(u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$, wobei $u$ alle Werte des Intervalls $]0; 4[$ annimmt.

d)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $k$, für den der Inhalt der Fläche, die $G_k$ mit der $x$-Achse einschließt, $\frac{64}{3}$ beträgt.

$k =$

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto -kx \cdot (x - 8)$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{4}}$.

Betrachtet werden die Trapeze mit den Eckpunkten $A(0 \mid 0)$, $B(8 \mid 0)$, $C_u(8-u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$ und $D_u(u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$, wobei $u$ alle Werte des Intervalls $]0; 4[$ annimmt.

e)

Geben Sie die Stelle an, an der jede Stammfunktion von $f_{\frac{1}{4}}$ ihr Maximum annimmt. Begründen Sie Ihre Angabe ohne Verwendung eines Terms einer Stammfunktion.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto -kx \cdot (x - 8)$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{4}}$.

Betrachtet werden die Trapeze mit den Eckpunkten $A(0 \mid 0)$, $B(8 \mid 0)$, $C_u(8-u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$ und $D_u(u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$, wobei $u$ alle Werte des Intervalls $]0; 4[$ annimmt.

2 In einem Raum wurde die Wirksamkeit der Lüftungsanlage untersucht. Dazu wurde die Konzentration des Kohlendioxids ($\mathrm{CO_2}$) in der Luft gemessen, während sich eine Personengruppe im Raum befand. Die Messwerte können mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x \mapsto -600\mathrm{e}^{-0{,}5x} + 1000$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit Beginn der Untersuchung vergangene Zeit in Stunden und $g(x)$ die $\mathrm{CO_2}$-Konzentration in „parts per million“ (kurz: ppm).

a)

Bestimmen Sie die $\mathrm{CO_2}$-Konzentration zu Beginn der Untersuchung.

b)

Einer Studie zufolge fühlen sich Personen in Räumen wohl, wenn die $\mathrm{CO_2}$-Konzentration geringer als $1000\text{ ppm}$ ist. Untersuchen Sie, ob diese Bedingung während der Untersuchung erfüllt war.

c)

Stellen Sie die zeitliche Entwicklung der $\mathrm{CO_2}$-Konzentration für die ersten zehn Stunden nach Beginn der Untersuchung grafisch dar.

d)

Zeigen Sie, dass die mittlere Änderungsrate der $\mathrm{CO_2}$-Konzentration für jede Zeitspanne mit einer Länge von einer Stunde mithilfe des Terms $600\cdot\left(1 - \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)\cdot\mathrm{e}^{-0{,}5x}$ bestimmt werden kann. Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt auf eine Minute genau, für den die beschriebene mittlere Änderungsrate erstmals den Wert $100\,\frac{\text{ppm}}{\text{h}}$ unterschreitet.