Aufgabe C1.1 - Aufgabe 2 - Ebenen und Winkel · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $A(11|11|0)$, $B(-11|11|28)$, $C(11|-11|28)$ und $D(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$, $B$ und $C$, die Ebene $F$ die Punkte $B$, $C$ und $D$.

2.1

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

[zur Kontrolle: $14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308$ ist eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene $E$.] [3 BE]

2.2

Berechnen Sie die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_1$-$x_2$-Ebene schneidet.

Geben Sie einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann. [5 BE]

2.3

Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper, ohne die Volumina zu berechnen. [4 BE]