Aufgabe C1.2 - Aufgabe 2 - Sonnenuhr · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|3|0)$, $D(0|3|0)$, $E(0|0|3)$, $F(2|0|2)$ und $H(0|3|1)$ die Eckpunkte eines Körpers $K$ mit rechteckiger Grundfläche (Material). Alle diesen Körper $K$ begrenzende Flächen sind eben.

2

Ein Künstler will eine auf ebenem Boden stehende Betoninstallation herstellen, die als Sonnenuhr fungiert. Der Betonkörper entspricht dabei dem oben beschriebenen Körper K.

Die Sonnenuhr besteht neben dem Betonkörper aus einer massiven Stange, die einen Schatten auf den Betonkörper bzw. auf den Boden wirft. Die Stange wird im Folgenden als Strecke modelliert.

Der ebene Boden wird durch die x-y-Ebene dargestellt; eine Einheit entspricht einem Meter.

2.1

Die Stange ist insgesamt $3\text{ m}$ lang und wird senkrecht zur Fläche $\text{EFCH}$ im Betonkörper verankert, ein Teil der Stange steckt also im Betonkörper. Die Stange endet im Modell im Punkt $Q(1{,}5|2|3)$ außerhalb des Betonkörpers.

Berechnen Sie die Koordinaten des anderen Endpunktes der Stange, der innerhalb des Betonkörpers liegt. [5 BE]

$($

$|$

$|$

$)$

2.2

Zu einem bestimmten Zeitpunkt fällt der Schatten des Punktes $Q$ auf den Punkt $H$.

Ermitteln Sie einen Vektor, der zum betrachteten Zeitpunkt die Richtung der parallel einfallenden Sonnenstrahlen beschreibt. [1 BE]

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = ($$

$\\$

$\\$

$)$

2.3

Zu einem anderen Zeitpunkt kann die Richtung der parallel einfallenden Sonnenstrahlen durch den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Der Schatten des Punktes $Q$ fällt nun auf den Boden.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes $Q'$. [2 BE]

$Q'($

$|$

$|$

$)$

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes der Kante $\overline{EH}$, der im Schatten der Stange liegt. [4 BE]

$($

$|$

$|$

$)$