Aufgabe B2 - Aufgabe 2.1 - Eingangsrate · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2022

Ein hessischer Radiosender startet anlässlich einer Naturkatastrophe eine Spendenaktion. Die Zuschauer haben bei dieser Spendenaktion die Möglichkeit, über eine Spendenhotline telefonisch einen Betrag von 50 € zu spenden. Die Spendenhotline ist für einen Zeitraum von acht Stunden erreichbar.

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion:

$$f_b(t) = \frac{1}{100} \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot b \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}, \quad b \in \mathbb{R}, \ b > 0$$

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = 0{,}03 \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t} = f_3(t)$$

der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

Material 1

Graph der Näherungsfunktion $f$

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren: $f_b(t) = \frac{1}{100}(0{,}5t^2 + 2t)\cdot b\cdot e^{-0{,}02t},\ b > 0$. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion.

2.1.1

Nach einer Stunde beträgt die Eingangsrate 17 Anrufe pro Minute.

Bestimmen Sie, gerundet auf zwei Nachkommastellen, den zugehörigen Wert des Parameters $b$.

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = 0{,}03\cdot (0{,}5t^2 + 2t)\cdot e^{-0{,}02t} = f_3(t)$$

der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

2.1.2

Vergleichen Sie die Eingangsraten nach zwei Stunden und nach acht Stunden im Sachzusammenhang.

2.1.3

Ermitteln Sie ohne Verwendung des Graphen die maximale Eingangsrate gemäß der vorgenommenen Modellierung.

2.1.4

Bestimmen Sie, gerundet auf zwei Nachkommastellen, den Wert von $t$, für welchen die Krümmung des Graphen der Funktion $f$ von einer Rechts- in eine Linkskrümmung wechselt.

Erläutern Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang.

2.1.5

Bestimmen Sie die minimale Eingangsrate im Zeitraum $[40; 240]$.