Aufgabe C2 - Aufgabe 3 - Hypothesentest · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2022

Stochastik

Die Speisekarte in Material 1 zeigt die angebotenen Speisen einer Mitarbeiter-Kantine an einem Freitag. Man kann sich täglich ein Drei-Gänge-Menü zusammenstellen, indem man eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert auswählt. Die Gäste haben nach ihrer Auswahl alle Speisen auf einem Tablett, so dass die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Material 1: Menükarte Freitag

Vorspeisen:

Gemüsesuppe (v)

Kleiner Salat (v)

Lachsröllchen

Hauptspeisen:

Spaghetti mit Tomatensauce (v)

Käsespätzle (v)

Schnitzel mit Pommes Frites

Panierter Fisch mit Kartoffelsalat

Desserts:

Fruchtsalat (v)

Schokopudding (v)

Apfelstrudel (v)

Gemischtes Eis (v)

(v) vegetarisch

Die folgenden Anteile beziehen sich auf die Gesamtheit der Besucher der Kantine. Der Anteil der Vegetarier beträgt $30\,\%$. Alle in Material 1 genannten Vorspeisen und alle Desserts sind gleich beliebt. Bei den Hauptspeisen wählen $20\,\%$ die Spaghetti, $25\,\%$ die Käsespätzle, $35\,\%$ das Schnitzel und der Rest den Fisch. Es werden im Folgenden nur die Personen betrachtet, die aus jedem Gang eine Speise wählen. Vegetarier wählen ausschließlich aus den mit (v) gekennzeichneten Gerichten. Die Kantine wird täglich von mehr als $1000$ Personen besucht.

Der Betreiber der Kantine hat die Vermutung, dass der Anteil der Vegetarier nicht mehr $30\,\%$ beträgt, sondern gestiegen sein könnte, da die vegetarischen Gerichte stärker nachgefragt werden. Um das Angebot gegebenenfalls anpassen zu können, werden $150$ zufällig ausgewählte Besucher der Kantine gefragt, ob sie Vegetarier sind. Bei der Befragung geben $57$ Personen an, Vegetarier zu sein.

3.1

Entwickeln Sie anhand der Angaben einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ und formulieren Sie eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang. Entscheiden Sie, ob davon auszugehen ist, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist. [7 BE]

3.2

Erläutern Sie die Fehler 1. und 2. Art und deren mögliche Konsequenzen im Sachzusammenhang. [4 BE]

3.3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn sich der Anteil der Vegetarier tatsächlich auf $40\,\%$ erhöht hat. [3 BE]

3.4

In Material 2 sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für einen Anteil der Vegetarier von $p_0 = 0{,}3$ und $p_1 = 0{,}4$ dargestellt. Begründen Sie die Lage des Maximums der zu $p_1 = 0{,}4$ gehörigen Verteilung. Zeichnen Sie die Fläche ein, deren Inhalt ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art darstellt, wobei die Annahme aus Aufgabe 3.3 weiterhin zugrunde gelegt wird. [4 BE]

3.5

Erläutern Sie anhand des Diagramms in Material 2, wie sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art entwickelt, wenn der tatsächliche Anteil $p$ der Vegetarier von $40\,\%$ kontinuierlich bis auf $100\,\%$ steigt. Begründen Sie, dass für $p \le 0{,}3$ die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ beizubehalten, mindestens $95{,}29\,\%$ ist, wenn beim Hypothesentest aus Aufgabe 3.1 die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art höchstens $4{,}71\,\%$ beträgt. Begründen Sie, warum man für $p \le 0{,}3$ den Fehler 2. Art nicht begehen kann. [5 BE]