Aufgabe C1.1 - Aufgabe 4 - Drohne und Schattenwurf · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $A(11|11|0)$, $B(-11|11|28)$, $C(11|-11|28)$ und $D(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

Aufgabe 4: Flugbahn der Drohne und Schattenwurf

Eine Drohne (unbemanntes Luftfahrzeug mit Kamera) fliegt geradlinig. Im Modell liegt ihre Flugbahn auf der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Der Parameter $t$ beschreibt die Zeit in Sekunden nach dem Start bei $t = 0$. Der Erdboden liegt im Modell in der $x_1$-$x_2$-Ebene.

4.1

Erläutern Sie, warum die Drohne vom Erdboden startet und sich im Steigflug befindet.

Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn.

4.2

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Drohne mit der Seitenkante $\overline{AB}$ des Saarpolygons kollidiert.

4.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Drohne in einer Sekunde eine Strecke von ungefähr $5{,}1$ Metern zurücklegt, und berechnen Sie die Geschwindigkeit der Drohne in der Einheit Kilometer pro Stunde.

4.4 Die Sonne scheint zu einer bestimmten Uhrzeit in Richtung des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

4.4.1

Ermitteln Sie die Gleichung der Schattengeraden $g'$, auf welcher sich der Schatten der Drohne in der $x_1$-$x_2$-Ebene bewegt.

4.4.2

Begründen Sie, dass der Schatten der Strecke $\overline{BC}$ des Saarpolygons auf dem Erdboden genau so lang ist wie die Strecke $\overline{BC}$ selbst.

4.4.3

In der Abbildung in Material 4 sind in der $x_1$-$x_2$-Ebene die Eckpunkte eines Trapezes $GHIJ$ sowie der Schatten des Saarpolygons dargestellt.

Geben Sie für jeden der Punkte $A, B, C, D$ des Saarpolygons an, welcher der Eckpunkte des Trapezes den zugehörigen Schattenpunkt darstellt.

Schattenpunkt zu A:

Schattenpunkt zu B:

Schattenpunkt zu C:

Schattenpunkt zu D: