Aufgabe C1.2 - Aufgabe 1 · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|3|0)$, $D(0|3|0)$, $E(0|0|3)$, $F(2|0|2)$ und $H(0|3|1)$ die Eckpunkte eines Körpers $K$ mit rechteckiger Grundfläche (Material). Alle diesen Körper $K$ begrenzende Flächen sind eben.

1.1

Zeigen Sie, dass das Viereck $EFCH$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist.

[4 BE]

1.2

Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene $J$ an, in der die Fläche $EFCH$ liegt. Bestimmen Sie eine zugehörige Koordinatengleichung.

[zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung lautet $J: 3x + 4y + 6z = 18$.]

[5 BE]

1.3

Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene $J$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene.

[3 BE]

1.4

Ein Schnittpunkt der Ebene $J$ mit den Koordinatenachsen ist der Punkt $E$. Die anderen beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten $S_x(6|0|0)$ und $S_y(0|4{,}5|0)$.

Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten des Punktes $S_y$ berechnen kann.

Zeichnen Sie die Punkte $S_x$ und $S_y$ sowie die Kanten der Pyramide $AS_xS_yE$ in das Material ein.

[4 BE]

1.5

Der Körper $K$ ist ein Teilkörper der Pyramide $AS_xS_yE$. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens des Körpers $K$ am Volumen der Pyramide $AS_xS_yE$.

[5 BE]

Gegeben ist die Geradenschar $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right]$ mit $a \in \mathbb{R}$.

1.6

Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Geraden der Schar in der Ebene $J$ liegen.

[3 BE]

1.7

Berechnen Sie den Wert des Parameters $a$, für den die zugehörige Gerade der Schar durch den Punkt $C$ verläuft.

Begründen Sie, dass für den berechneten Wert des Parameters $a$ die zugehörige Gerade der Schar die gesamte Strecke $\overline{EC}$ enthält.

[zur Kontrolle: $a = 0{,}5$]

[4 BE]

1.8

Bestimmen Sie alle Werte des Parameters $a$, für welche die zugehörigen Geraden der Schar mehr als einen Punkt mit dem Parallelogramm $EFCH$ gemeinsam haben.

[4 BE]

1.9

Erläutern Sie die Ansätze und deren geometrische Bedeutungen in den Zeilen (I) und (II) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses in Zeile (III) an.

$$\text{(I) } \begin{pmatrix} 2 - 2a \\ 3a \\ -1 - a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \iff a = \frac{8}{17}$$

$$\text{(II) } \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{8}{17} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \implies t = \frac{51}{25}$$

$$\text{(III) } d = \left| \frac{51}{25} \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{8}{17} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] \right| = \left| \begin{pmatrix} 2{,}16 \\ 2{,}88 \\ -3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{21{,}96} \approx 4{,}69$$

[6 BE]