Aufgabe B1 - Aufgabe 2 (Differentialrechnung) · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2022

Der ICE fährt im weiteren Verlauf seiner Fahrt von 14:30 Uhr bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

2.1.1

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, die der ICE eine halbe Minute nach 15:00 Uhr hat.

Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit in der ersten halben Minute nach 15:00 Uhr um einen kleineren Betrag abnimmt als in der darauf folgenden halben Minute.

2.1.2

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt.

2.2

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit

$$f_p(x) = \frac{p}{4}\cdot x^4 + (30-p)\cdot x^3 + (p-90)\cdot x^2 + 240 \quad \text{und} \quad p \in \mathbb{R}$$

daraufhin untersucht, ob sie für $0 \leq x \leq 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

2.2.1

Der Übergang von der Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit kurz vor 15:00 Uhr zur Fahrt nach 15:00 Uhr erfolgt sowohl hinsichtlich der Geschwindigkeit als auch hinsichtlich der momentanen Änderungsrate der Geschwindigkeit ohne Sprung. Die Funktionen $f_p$ werden diesen beiden Anforderungen gerecht.

Geben Sie die zugehörigen Bedingungen an, die die Funktionen $f_p$ erfüllen.

2.2.2

Geben Sie denjenigen Wert von $p$ an, für den $f_p(x)$ mit dem Term der Funktion $f$ übereinstimmt.

Beurteilen Sie für jede der Funktionen $f_{-80}$ und $f_{250}$ mithilfe des zugehörigen Graphen, ob die Funktion die Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnte.

Hinweis: Eine Skizze der Graphen ist nicht erforderlich.

2.2.3

Gegeben sind die folgenden Informationen:

Für $p \neq 0$ liefert $f_p'(x) = 0$ neben $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$ die Lösung $x_3 = 1 - \frac{90}{p}$.

Es gilt $x_3 \leq 0 \iff 0 < p \leq 90$ und $x_3 \geq 2 \iff -90 \leq p < 0$.

Beurteilen Sie auch unter Verwendung dieser Informationen die Funktionen $f_p$ mit $p \neq 0$ im Hinblick auf ihre Eignung zur Beschreibung der angenommenen Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr.