Aufgabe C1.1 - Aufgabe 3 - Blickrichtungen und Abstand · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $A(11|11|0)$, $B(-11|11|28)$, $C(11|-11|28)$ und $D(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

3.1

Das Saarpolygon wird aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 in Material 3 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 1 und 2 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt.

$\vec{v}_1 =$

$\vec{v}_2 =$

Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

3.2

Der Punkt $P(0|0|h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ den gleichen Abstand.

Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von h:

$$\text{I } \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix},\quad r\in [0;1]$$

$$\text{II } \vec{PQ}\circ \vec{AB} = 0$$

$$\text{III } |\vec{PQ}| = 28 - h$$

Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von h zugrunde liegen.