Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole Candidat libre 2021 (sujet 2)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Métropole Candidat libre 2 (2021)

Énoncé

Exercice 3, commun à tous les candidats (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par: $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 4}$

La copie d'écran ci-contre présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des termes de la suite $(u_n)$ pour $n$ variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient $\frac{4}{u_n}$ (avec, pour les valeurs de $u_n$ , affichage de deux chiffres pour les parties décimales).

$n$ · $u_n$ · $\frac{4}{u_n}$

0 · 1,00 · 4

1 · 0,80 · 5

2 · 0,67 · 6

3 · 0,57 · 7

4 · 0,50 · 8

5 · 0,44 · 9

6 · 0,40 · 10

7 · 0,36 · 11

8 · 0,33 · 12

9 · 0,31 · 13

10 · 0,29 · 14

11 · 0,27 · 15

12 · 0,25 · 16

À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de $\frac{4}{u_n}$ en fonction de $n$ .

Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d'en déduire la limite de la suite $(u_n)$ (question 6.).

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a: $u_n > 0$ .

Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite $(u_n)$ ?

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n = \frac{4}{u_n}$ .

Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.

En déduire, pour tout entier naturel $n$ , l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ .

Déterminer, pour tout entier naturel $n$ , l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ .

En déduire la limite de la suite $(u_n)$ .

Énoncé: Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole Candidat libre 2021 (sujet 2)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de 4/u_n en fonction de n.

Réponse : $n + 4$

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u_n > 0.

Réponse : Initialisation : $u_0 = 1 > 0$ , donc $\mathcal{P}_0$ est vraie. Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$ , supposons $u_n > 0$ . Alors $4u_n > 0$ et $u_n + 4 > 4 > 0$ , donc $u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 4} > 0$ . Conclusion : Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n > 0$ .

3. Démontrer que la suite (u_n) est décroissante.

Réponse : $u_{n+1} - u_n = \frac{-u_n^2}{u_n + 4} < 0$ , donc la suite est décroissante.

4. Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite (u_n) ?

Réponse : La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0, donc d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers une limite $\ell \in \mathbb{R}$ .

5. Préciser sa raison.

Réponse : 1

5. Préciser son premier terme.

Réponse : 4

5. En déduire, pour tout entier naturel n, l'expression de v_n en fonction de n.

Réponse : $4 + n$

5. Démontrer que (v_n) est une suite arithmétique.

Réponse : $v_{n+1} = \frac{4}{u_{n+1}} = 1 + \frac{4}{u_n} = v_n + 1$ , donc $(v_n)$ est arithmétique de raison 1.

6. Déterminer, pour tout entier naturel n, l'expression de u_n en fonction de n.

Réponse : $\frac{4}{n+4}$

6. En déduire la limite de la suite (u_n).

Réponse : 0

L’explication pas à pas, faite avec l’IA, est réservée aux membres Premium. Premium

Résous-le ici : correction automatique, indices et corrigé détaillé.

‹ Exercice 3 · Métropole Candidat libre 2021 (sujet 1) · Exercice au choix - Exercice A · Métropole 2021 (sujet 1) ›

Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole Candidat libre 2021 (sujet 2)

Énoncé

Corrigé

Plus d’exercices de Suites : récurrence, convergence et limites