Exercice 2 · Bac Mathématiques Métropole 2021 (sujet 2)

1. a) Calculer $u_1$

Réponse : 2

1. a) Calculer $v_1$

Réponse : 3

1. b) Démontrer que la suite $(v_n)$ est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \ge 1$.

Réponse : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_{n+1} - v_n = 2u_n + v_n - v_n = 2u_n$. Comme la suite $(u_n)$ est strictement positive, $u_n > 0$, donc $v_{n+1} - v_n > 0$, ce qui prouve que $(v_n)$ est strictement croissante. Puisque $(v_n)$ est croissante sur $\mathbb{N}$, pour tout $n \ge 0$, $v_n \ge v_0 = 1$.

1. c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \ge n + 1$.

Réponse : Initialisation : Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $0 + 1 = 1$. L'inégalité $u_0 \ge 0 + 1$ est vérifiée. Hérédité : Soit $k \in \mathbb{N}$. Supposons que $u_k \ge k + 1$. Alors $u_{k+1} = u_k + v_k$. D'après l'hypothèse de récurrence, $u_k \ge k + 1$, et d'après la question 1.b, $v_k \ge 1$. Donc : $u_{k+1} \ge (k + 1) + 1 = (k + 1) + 1$. La propriété est donc héréditaire. Conclusion : Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge n + 1$.

1. d) En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Réponse : +$\infty$

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $-\frac{1}{u_n^2} \le \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \le \frac{1}{u_n^2}$.

Réponse : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(-1)^{n+1}$ vaut soit $-1$ soit $1$, donc : $$-1 \le (-1)^{n+1} \le 1$$ Comme $u_n > 0$, $u_n^2 > 0$. En divisant chaque membre par $u_n^2$, on obtient : $$-\frac{1}{u_n^2} \le \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \le \frac{1}{u_n^2}$$