Exercice 3 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2022

Exercice 3 (7 points)

Thèmes: fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x - x \ln x$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite $(u_n)$ définie par:

$$\begin{cases} u_0 = 0{,}5 \\ \text{pour tout entier naturel } n,\ u_{n+1} = u_n - u_n \ln u_n \end{cases}$$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1} = f(u_n)$.

1.

On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0{,}5; 1]$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $0{,}5 \le u_n \le u_{n+1} \le 1$.

2. a.

Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

2. b.

On note $l$ la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer la valeur de $l$.