Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2023 (sujet 1)

Calculer $u_2$

Réponse : 4

Calculer $u_3$

Réponse : 4,9

Proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice.

Réponse : Au 2ème mois de la FAQ, la modélisation prévoit 400 questions et au 3ème mois elle en prévoit 490.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \ge 1$ : $u_n = 13 - \frac{100}{9} \times 0{,}9^n$.

Réponse : Initialisation : pour $n=1$, $u_1=3$ et $13 - \frac{100}{9}\times 0{,}9 = 13 - 10 = 3$. La propriété est vraie au rang 1. Hérédité : supposons $u_n = 13 - \frac{100}{9}\times 0{,}9^n$. Alors : $u_{n+1} = 0{,}9\left(13 - \frac{100}{9}\times 0{,}9^n\right) + 1{,}3 = 11{,}7 - \frac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1} + 1{,}3 = 13 - \frac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}$. La propriété est donc héréditaire. Conclusion : par récurrence, la propriété est vraie pour tout $n \ge 1$.

En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

Réponse : $u_{n+1} - u_n = -\frac{100}{9}\times(0{,}9^{n+1} - 0{,}9^n) = \frac{100}{9}\times 0{,}9^n(1 - 0{,}9) = \frac{10}{9}\times 0{,}9^n = 0{,}9^{n-1} > 0$, donc la suite est croissante.

Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5)

Réponse : 9

Interpréter la valeur renvoyée par seuil(8.5) dans le contexte de l'exercice.

Réponse : C'est à partir du 9e mois que le nombre de questions sur la FAQ dépassera 850 questions.

Préciser la valeur de $v_1$

Réponse : 3

Préciser la valeur arrondie au centième de $v_2$

Réponse : 4,04

Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8{,}5$.

Réponse : 15

Justification du calcul de la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8{,}5$.

Réponse : $9 - 6\,\mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)} > 8{,}5 \iff 6\,\mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)} < 0{,}5 \iff \mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)} < \frac{1}{12} \iff -0{,}19(n-1) < -\ln(12) \iff n-1 > \frac{\ln(12)}{0{,}19} \approx 13{,}08 \iff n > 14{,}08$, d'où $n = 15$.

Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?

Réponse : Première modélisation

Justifier le choix de la modélisation pour la modification la plus rapide.

Réponse : La première modélisation prévoit de dépasser 850 questions dès le 9e mois ($u_9 > 8{,}5$), tandis que la seconde ne le prévoit qu'au 15e mois ($v_{15} > 8{,}5$). Comme $9 < 15$, la première modélisation conduit à modifier le site plus tôt.

Pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?

Réponse : Première modélisation

Justification par le calcul des limites pour le comportement à long terme.

Réponse : Pour $(u_n)$ : comme $-1 < 0{,}9 < 1$, $\lim_{n \to +\infty} 0{,}9^n = 0$, donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 13$ (soit 1300 questions). Pour $(v_n)$ : $\lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)} = 0$, donc $\lim_{n \to +\infty} v_n = 9$ (soit 900 questions). Comme $13 > 9$, c'est la première modélisation.