Exercice 3 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 1)

On étudie le fonctionnement d'un système de chauffage installé dans une pièce.

Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C (degrés Celsius), et s'éteint lorsqu'elle atteint 20 °C.

Partie B: Phase de refroidissement

Lorsque la pièce atteint la température de 20 °C, le système de chauffage s'éteint et la pièce refroidit.

On modélise la température de la pièce par la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 20$ et pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = 0{,}965u_n + 0{,}35 + 0{,}07\text{e}^{-0{,}1n}$$

où $n$ est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.

1.

Montrer que $u_1 = 19{,}72$.

2.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 10$.

On admet que la suite $(u_n)$ est décroissante.

3.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

4.

On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.

a.

Justifier que cette limite est solution de l'équation $x = 0{,}965x + 0{,}35$.

b.

Déterminer $\ell$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5.

On rappelle que le système de chauffage se met en marche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C.

a.

Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

while

:

u =

n =

b.

Déterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.