Exercice au choix - Exercice A · Bac Mathématiques Métropole 2021 (sujet 1)

1. Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ sous forme de fraction irréductible.

Réponse : 7/4

1. Calculer, en détaillant les calculs, $u_2$ sous forme de fraction irréductible.

Réponse : 41/16

2. a. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $(u_n)$ dans la colonne B ?

Réponse : =3/4*B2+1/4*A2+1 / =0,75*B2+0,25*A2+1

2. b. Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Réponse : croissante / strictement croissante

3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \le u_n \le n + 1$.

Réponse : Initialisation : pour $n=0$, $u_0 = 1$ et $0 \le 1 \le 1$, donc la propriété est vraie au rang 0. Hérédité : supposons que pour un entier $n \ge 0$, $n \le u_n \le n+1$. En multipliant par $\frac{3}{4} > 0$ : $$\frac{3}{4}n \le \frac{3}{4}u_n \le \frac{3}{4}(n+1)$$ En ajoutant $\frac{1}{4}n + 1$ : $$\frac{3}{4}n + \frac{1}{4}n + 1 \le u_{n+1} \le \frac{3}{4}n + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}n + 1$$ $$n+1 \le u_{n+1} \le n + \frac{7}{4}$$ Or $n + \frac{7}{4} \le n+2 = (n+1)+1$. Donc $n+1 \le u_{n+1} \le (n+1)+1$. La propriété est donc héréditaire. Conclusion : d'après le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n \le u_n \le n+1$.