Exercice 2 · Bac Mathématiques Métropole 2023 (sujet 2)

Partie A - 1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_n = 0{,}1 \times 1{,}6^n$.

Réponse : Une hausse de 60 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + 0{,}60 = 1{,}6$. Ainsi $u_{n+1} = 1{,}6 u_n$. La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_0 = 0{,}1$ et de raison $q = 1{,}6$, d'où $u_n = u_0 \times q^n = 0{,}1 \times 1{,}6^n$.

Partie A - 2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Réponse : $+\infty$

Partie A - 3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n > 0{,}4$.

Réponse : 3

Partie A - 4. Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.

Réponse : Non, car dès le 3e mois la population dépassera 0,4 million (soit 400 000 insectes).

Partie B - 1. Déterminer le nombre d'insectes au bout d'un mois.

Réponse : 0,144 / 144 000

Partie B - 2.a. Résoudre l'équation $f(x) = x$.

Réponse : {0; 0,375} / 0 et 0,375 / 0 et 3/8

Partie B - 2.b. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0 ; \frac{1}{2}\right]$.

Réponse : $f'(x) = 1{,}6 - 3{,}2x \ge 0$ sur $\left[0 ; \frac{1}{2}\right]$, donc $f$ est croissante sur cet intervalle.

Partie B - 3.a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \le v_n \le v_{n+1} \le \frac{1}{2}$.

Réponse : Initialisation : $v_0 = 0{,}1$ et $v_1 = 0{,}144$, or $0 \le 0{,}1 \le 0{,}144 \le \frac{1}{2}$. Hérédité : si $0 \le v_k \le v_{k+1} \le \frac{1}{2}$, par croissance de $f$ sur cet intervalle, $f(0) \le f(v_k) \le f(v_{k+1}) \le f(1/2)$, d'où $0 \le v_{k+1} \le v_{k+2} \le 0{,}4 \le 1/2$. Conclusion établie.

Partie B - 3.b. Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente.

Réponse : La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $1/2$, donc d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge vers une limite $\ell \le 1/2$.

Partie B - 3.c. Déterminer la valeur de $\ell$.

Réponse : 0,375 / 3/8

Partie B - 3.c. Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.

Réponse : Oui, car la population plafonne à 375 000 insectes et ne dépassera jamais 400 000.

Partie B - 4.a. Qu'observe-t-on si on saisit seuil(0.4) ?

Réponse : Le programme ne termine pas (boucle infinie) et ne renvoie rien car $v_n < 0{,}4$ pour tout $n$.

Partie B - 4.b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35).

Réponse : 6

Partie B - 4.b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Réponse : La population d'insectes dépassera 350 000 individus (0,35 million) au bout du sixième mois.