Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole Candidat libre 2021 (sujet 1)

Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu'elle a achetés surgelés.

Elle sort les gâteaux du congélateur à $-19\ \text{°C}$ et les apporte sur la terrasse où la température ambiante est de $25\ \text{°C}$.

Au bout de $10$ minutes la température des gâteaux est de $1,3\ \text{°C}$.

I - Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante, c'est-à-dire que l'augmentation de la température des gâteaux est la même minute après minute.

1.

Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux $25$ minutes après leur sortie du congélateur.

2.

Ce modèle semble-t-il pertinent ? Justifier.

II - Second modèle

On note $T_n$ la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de $n$ minutes après leur sortie du congélateur; ainsi $T_0 = -19$.

On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante:

pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} - T_n = -0,06 \times (T_n - 25)$.

1.

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a: $T_{n+1} = 0,94T_n + 1,5$.

2.

Calculer $T_1$ et $T_2$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.

$T_1 =$

°C

$T_2 =$

°C

3.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $T_n \le 25$.

En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible ?

4.

Étudier le sens de variation de la suite $(T_n)$.

5.

Démontrer que la suite $(T_n)$ est convergente.

6.

On pose, pour tout entier naturel $n$, $U_n = T_n - 25$.

a. Montrer que la suite $(U_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_0$.

Raison $q =$

Premier terme $U_0 =$

b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n = -44 \times 0,94^n + 25$.

c. En déduire la limite de la suite $(T_n)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.

$\lim_{n \to +\infty} T_n =$

°C

7.

a. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d'une demi-heure à température ambiante après leur sortie du congélateur. Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux ? On donnera une valeur arrondie à l'entier le plus proche.

b. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu'elle aime déguster lorsqu'ils sont encore frais, à la température de $10\ \text{°C}$. Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.

$< n <$

c. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $T_n \ge 10$.

Compléter la fonction ci-dessous: