Exercice 3 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2022

Exercice 3 (7 points)

Thèmes: fonctions logarithme et exponentielle, suites

Les parties A et B sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1; +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $g(x) = e^{\frac{x}{4}}$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = e^{\frac{u_n}{4}} \quad \text{c'est-à-dire:} \quad u_{n+1} = g(u_n)$$

1.

Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

2.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n \le u_{n+1} \le e$.

3.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, et on admet que $\ell$ est solution de l'équation:

$$e^{\frac{x}{4}} = x$$

4.

En déduire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = \frac{1}{4}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.

5.