Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2023

1. On détaillera les calculs.

Réponse : $u_2 = \dfrac{1}{\mathrm{e}}\left(1 + \dfrac{1}{1}\right)u_1 = \dfrac{2}{\mathrm{e}} \times \dfrac{1}{\mathrm{e}} = \dfrac{2}{\mathrm{e}^2}$ et $u_3 = \dfrac{1}{\mathrm{e}}\left(1 + \dfrac{1}{2}\right)u_2 = \dfrac{3}{2\mathrm{e}} \times \dfrac{2}{\mathrm{e}^2} = \dfrac{3}{\mathrm{e}^3}$.

1. Calculer la valeur exacte de $u_2$.

Réponse : $\dfrac{2}{\mathrm{e}^2}$

1. Calculer la valeur exacte de $u_3$.

Réponse : $\dfrac{3}{\mathrm{e}^3}$

2. Compléter la ligne $L_2$ du programme Python.

Réponse : ```python u = 1/exp(1) ``` ```python u = exp(-1) ```

2. Compléter la ligne $L_4$ du programme Python ($u = ...$).

Réponse : ```python 1/exp(1) * (1 + 1/i) * u ``` ```python (1 + 1/i) * u / exp(1) ``` ```python exp(-1) * (1 + 1/i) * u ```

3. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1 + \dfrac{1}{n} \le \mathrm{e}$.

Réponse : Pour tout $n \ge 1$, $\dfrac{1}{n} \le 1$, donc $1 + \dfrac{1}{n} \le 2$. Comme $2 < \mathrm{e} \approx 2{,}718$, on a bien $1 + \dfrac{1}{n} \le \mathrm{e}$.