Exercice A · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2021

Principaux domaines abordés:

Suites numériques; raisonnement par récurrence.

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par:

$$u_0 = 16 \quad;\quad v_0 = 5\;$$

et pour tout entier naturel $n$:

$$\begin{cases} u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} \\[2mm] v_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2} \end{cases}$$

1.

Calculer $u_1$ et $v_1$.

2.

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $w_n = u_n - v_n$.

a.

Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $0,1$.

En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.

b.

Préciser le signe de la suite $(w_n)$ et la limite de cette suite.

3.

a.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1} - u_n = -0,4 w_n$.

b.

En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.

On peut démontrer de la même manière que la suite $(v_n)$ est croissante. On admet ce résultat, et on remarque qu'on a alors: pour tout entier naturel $n$, $v_n \ge v_0 = 5$.

c.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n \ge 5$.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On appelle $l$ la limite de $(u_n)$.

On peut démontrer de la même manière que la suite $(v_n)$ est convergente. On admet ce résultat, et on appelle $l'$ la limite de $(v_n)$.

4.

a.

Démontrer que $l = l'$.

b.

On considère la suite $(c_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $c_n = 5u_n + 4v_n$.

Démontrer que la suite $(c_n)$ est constante, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, on a: $c_{n+1} = c_n$.

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $c_n = 100$.

c.

Déterminer la valeur commune des limites $l$ et $l'$.