Exercice 4 - Modèle discret et suites · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 1)

Partie A: étude d'un modèle discret

Exercice 4 (5 points)

Une équipe de biologistes étudie l'évolution de la superficie recouverte par une algue marine appelée posidonie, sur le fond de la baie de l'Alycastre, près de l'île de Porquerolles.

La zone étudiée est d'une superficie totale de 20 hectares (ha), et au premier juillet 2024, la posidonie recouvrait 1 ha de cette zone.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la superficie de la zone, en hectare, recouverte par la posidonie au premier juillet de l'année $2024 + n$. Ainsi, $u_0 = 1$.

Une étude conduite sur cette superficie a permis d'établir que pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = -0,02u_n^2 + 1,3u_n.$$

1.

Calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet 2025 d'après ce modèle.

2.

On note $h$ la fonction définie sur $[0\,;\,20]$ par $h(x) = -0,02x^2 + 1,3x$. On admet que $h$ est croissante sur $[0\,;\,20]$.

a.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $1 \le u_n \le u_{n+1} \le 20$.

b.

En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On note $L$ sa limite.

c.

Justifier que $L = 15$.

3.

Les biologistes souhaitent savoir au bout de combien de temps la surface recouverte par la posidonie dépassera les 14 hectares.

a.

Sans aucun calcul, justifier que, d'après ce modèle, cela se produira.

b.

Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'en fin d'exécution, il affiche la réponse à la question des biologistes:

def seuil():

n = 0

u = 1

while...:

n =...

u =...

return n