Exercice 2 · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2026

Exercice 2

[5 points]

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $]-3; +\infty[$ par: $f(x) = \dfrac{2x}{x+3}$.

On admet que $f$ est dérivable sur $]-3; +\infty[$.

1.

Vérifier, en détaillant les calculs, que pour tout réel $x$ de $]-3; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{6}{(x+3)^2}$. En déduire que $f$ est croissante sur $]-3; +\infty[$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = f(u_n)$.

2.

Démontrer, par récurrence, que pour tout entier $n$, on a: $0 \le u_{n+1} \le u_n \le 1$.

3.

En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Partie B

On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n \neq 0$.

On note $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies pour tout entier naturel $n$ par: $$v_n = \dfrac{1}{u_n} \quad \text{et} \quad w_n = v_n + 1$$

1.

Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = \dfrac{3}{2}v_n + \dfrac{1}{2}$.

2.

Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera les paramètres.

3.

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1}{2\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1}$.

4.

5. a.

Recopier et compléter le script suivant de telle sorte que la fonction seuil() renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n$ soit inférieur ou égal à $10^{-3}$.

def seuil():

n = 0

u = 1

while...:

n = n + 1

u =...

return...

5. b.