Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2025

Exercice 3 (6 points)

Le but de cet exercice est d'étudier les convergences de deux suites vers une même limite.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[2; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{3x - 2}$.

1.

Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous:

On admet que la suite $(u_n)$ vérifiant $u_0 = 6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1} = f(u_n)$ est bien définie.

2. a.

Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel: $2 \le u_{n+1} \le u_n \le 6$.

2. b.

En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

3.

On appelle $\ell$ la limite de $(u_n)$.

On admet qu'elle est solution de l'équation $f(x) = x$.

Déterminer la valeur de $\ell$.

$\ell =$

4.

On considère la fonction rang écrite ci-dessous en langage Python.

On rappelle que sqrt(x) renvoie la racine carrée du nombre $x$.

from math import *

def rang(a):

u = 6

n = 0

while u >= a:

u = sqrt(3*u - 2)

n = n + 1

return n

a.

Pourquoi peut-on affirmer que rang(2.000001) renvoie une valeur ?

b.

Pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'instruction rang(a) renvoie-t-elle un résultat ?

Partie B

On admet que la suite $(v_n)$ vérifiant $v_0 = 6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $v_{n+1} = 3 - \dfrac{2}{v_n}$ est bien définie.

1.

Calculer $v_1$.

$v_1 =$

2.

Pour tout $n$ entier naturel, on admet que $v_n \ne 2$ et on pose:

$$w_n = \frac{v_n - 1}{v_n - 2}$$

a.

Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme $w_0$.

$w_0 =$

b.

On admet que, pour tout $n$ entier naturel,

$$w_n - 1 = \frac{1}{v_n - 2}$$

En déduire que, pour tout $n$ entier naturel,

$$v_n = 2 + \frac{1}{1{,}25 \times 2^n - 1}$$

c.

Calculer la limite de $(v_n)$.

$\lim_{n\to+\infty} v_n =$

3.

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $v_n < 2{,}01$ en résolvant l'inéquation.

$n =$

Partie C

À l'aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout $n \ge N$, les termes $v_n$ et $u_n$ appartiennent à l'intervalle $]1{,}99; 2{,}01[$.

$N =$