Aufgabe Vorschlag C1.1 – Aufgabe 2 (2.2, 2.3) · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung LK · WTR (2022)

Aufgabenstellung

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken AB‾\overline{\text{AB}}, BC‾\overline{\text{BC}} und CD‾\overline{\text{CD}} mit A(11∣11∣0)\text{A}(11|11|0), B(−11∣11∣28)\text{B}(-11|11|28), C(11∣−11∣28)\text{C}(11|-11|28) und D(−11∣−11∣0)\text{D}(-11|-11|0) besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

2.2

Berechnen Sie die Größe φ\varphi des Winkels, unter dem EE die x1x_1-x2x_2-Ebene schneidet.

Geben Sie einen Term an, mit dem aus φ\varphi die Größe des Winkels zwischen den Ebenen EE und FF berechnet werden kann. [5 BE]

2.3

Die Ebene EE teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen. [3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe Vorschlag C1.1 – Aufgabe 2 (2.2, 2.3) · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

2.2 Berechnen Sie die Größe φ\varphi des Winkels, unter dem EE die x1x_1-x2x_2-Ebene schneidet.

Lösung: 61∘61^\circ / 60,9∘60{,}9^\circ

2.2 Geben Sie einen Term an, mit dem aus φ\varphi die Größe des Winkels zwischen den Ebenen EE und FF berechnet werden kann.

Lösung: 180∘−2φ180^\circ - 2\varphi

2.3 Begründung für den Volumenanteil ohne Berechnung der Volumina.

Lösung: Betrachtet man die Seitenfläche des Quaders, die A und C enthält, als Grundfläche und bezeichnet deren Flächeninhalt mit G, die Länge der zugehörigen Höhe des Quaders mit h und das Volumen des Quaders mit V_Q, so ergibt sich für das Volumen des pyramidenförmigen Teilkörpers: V_P = 1/3 · 1/2 · G · h = 1/6 · G · h = 1/6 · V_Q.

2.3 Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders.

Lösung: 1/6

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