Aufgabe Vorschlag C1.2 – Aufgabe 1 (1.2, 1.4, 1.6–1.8) · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|3|0)$, $D(0|3|0)$, $E(0|0|3)$, $F(2|0|2)$ und $H(0|3|1)$ die Eckpunkte eines Körpers $K$ mit rechteckiger Grundfläche (siehe Material). Alle diesen Körper $K$ begrenzende Flächen sind eben.

Gegeben ist zudem die Geradenschar $g_a$:

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

1.2

Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene $J$ an, in der die Fläche $EFCH$ liegt. Bestimmen Sie eine zugehörige Koordinatengleichung.

[zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung lautet $J: 3x + 4y + 6z = 18$.]

1.4

Ein Schnittpunkt der Ebene $J$ mit den Koordinatenachsen ist der Punkt $E$. Die anderen beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten $S_x(6|0|0)$ und $S_y(0|4{,}5|0)$.

Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten des Punktes $S_y$ berechnen kann.

Zeichnen Sie die Punkte $S_x$ und $S_y$ sowie die Kanten der Pyramide $AS_xS_yE$ in das Material ein.

Gegeben ist die Geradenschar $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right]$ mit $a \in \mathbb{R}$.

1.6

Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Geraden der Schar in der Ebene $J$ liegen.

1.7

Berechnen Sie den Wert des Parameters $a$, für den die zugehörige Gerade der Schar durch den Punkt $C$ verläuft.

Begründen Sie, dass für den berechneten Wert des Parameters $a$ die zugehörige Gerade der Schar die gesamte Strecke $\overline{EC}$ enthält.

[zur Kontrolle: $a = 0{,}5$]

1.8

Bestimmen Sie alle Werte des Parameters $a$, für welche die zugehörigen Geraden der Schar mehr als einen Punkt mit dem Parallelogramm $EFCH$ gemeinsam haben.