Aufgabe Vorschlag B1 – Aufgabe 2.1 · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Aufgabe 2

Ein Patient erhält nach einer Operation ein Medikament per Infusion. Diese ist so eingestellt, dass die Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ über die Zeit $t$ in Stunden konstant ist. Der Verlauf der Konzentration kann mit der Funktion $h$ mit $h(t) = 1$ beschrieben werden.

Um die Wirkung des Medikaments zu erhöhen, erhält der Patient das Medikament zusätzlich noch einmal durch eine intravenöse Injektion. Der Verlauf der durch diese Injektion verursachten Konzentration des Wirkstoffs im Blut kann mit der Funktion $g$ mit $g(t) = t \cdot e^{1-0{,}25t}$ (aus Aufgabe 1.4) beschrieben werden.

Die Funktion $k$ mit $k(t) = 1 + t \cdot e^{1-0{,}25t}$ gibt somit für die ersten 24 Stunden ($t$ in Stunden) den Verlauf der (Gesamt-)Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ an. Dabei ist $t = 0$ der Zeitpunkt, zu dem die intravenöse Injektion des Medikaments erfolgt.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt weist die Änderungsrate der (Gesamt-)Konzentration des Wirkstoffs im Blut ein Extremum auf.

Bestimmen Sie diesen Zeitpunkt.

Hinweis: Eine Randwertbetrachtung ist nicht erforderlich.

2.1