Aufgabe Vorschlag B1 – Aufgabe 2.3 · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Aufgabe 2

Ein Patient erhält nach einer Operation ein Medikament per Infusion. Diese ist so eingestellt, dass die Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ über die Zeit $t$ in Stunden konstant ist. Der Verlauf der Konzentration kann mit der Funktion $h$ mit $h(t) = 1$ beschrieben werden.

Um die Wirkung des Medikaments zu erhöhen, erhält der Patient das Medikament zusätzlich noch einmal durch eine intravenöse Injektion. Der Verlauf der durch diese Injektion verursachten Konzentration des Wirkstoffs im Blut kann mit der Funktion $g$ mit $g(t) = t \cdot e^{1-0{,}25t}$ (aus Aufgabe 1.4) beschrieben werden.

Die Funktion $k$ mit $k(t) = 1 + t \cdot e^{1-0{,}25t}$ gibt somit für die ersten 24 Stunden ($t$ in Stunden) den Verlauf der (Gesamt-)Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ an. Dabei ist $t = 0$ der Zeitpunkt, zu dem die intravenöse Injektion des Medikaments erfolgt.

2.3

Die Wirkstoffmenge, die mindestens im Blut vorhanden sein muss, damit das Medikament wirkt, bezeichnet man als therapeutische Konzentration.

Bei dem hier betrachteten Verlauf der Krankheit liegt die therapeutische Konzentration bei $2\text{ mg/l}$. Diese muss für einen Zeitraum von mindestens $14\text{ h}$ erreicht werden.

Entscheiden Sie begründet, ob die vorliegende Medikamentengabe den Bedingungen genügt.