Aufgabe Vorschlag C2 – Aufgabe 3 · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

3.1 Kritischer Wert k für den Ablehnungsbereich K = {k, ..., 150}

Lösung: 55

3.1 Formulieren Sie eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang. Entscheiden Sie, ob davon auszugehen ist, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist.

Lösung: Entscheidungsregel: Wenn in der Stichprobe mindestens 55 Personen angeben, Vegetarier zu sein, wird davon ausgegangen, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist (H_0 wird verworfen). Entscheidung: Da bei der Befragung 57 Personen angeben, Vegetarier zu sein, wird H_0 verworfen und es wird davon ausgegangen, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist.

3.2 Erläutern Sie die Fehler 1. und 2. Art und deren mögliche Konsequenzen im Sachzusammenhang.

Lösung: Fehler 1. Art: Die Nullhypothese H_0 wird verworfen, obwohl sie gilt. Der Betreiber der Kantine nimmt fälschlicherweise an, dass sich der Anteil der Vegetarier erhöht hat, und bietet mehr vegetarische Gerichte an, obwohl die Nachfrage nicht gestiegen ist. Fehler 2. Art: Die Nullhypothese H_0 wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. Der Betreiber nimmt fälschlicherweise an, dass sich der Anteil der Vegetarier nicht erhöht hat, und bietet weiter gleich viele vegetarische Gerichte an. Dies könnte dazu führen, dass die vegetarischen Gerichte nicht ausreichen, um den Bedarf zu decken.

3.3 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn sich der Anteil der Vegetarier tatsächlich auf 40 % erhöht hat.

Lösung: 0,1799 / 17,99 %

3.4 Begründen Sie die Lage des Maximums der zu p_1 = 0,4 gehörigen Verteilung.

Lösung: Das Maximum der Verteilung liegt beim Erwartungswert E(X) = 150 · 0,4 = 60.

3.5 Erläutern Sie anhand des Diagramms in Material 2, wie sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art entwickelt, wenn der tatsächliche Anteil p der Vegetarier von 40 % kontinuierlich bis auf 100 % steigt. Begründen Sie, dass für p ≤ 0,3 die Wahrscheinlichkeit, H_0 beizubehalten, mindestens 95,29 % ist... Begründen Sie, warum man für p ≤ 0,3 den Fehler 2. Art nicht begehen kann.

Lösung: 1. Wenn p kontinuierlich von 40 % bis auf 100 % steigt, verschiebt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer weiter nach rechts. Da der Annahmebereich der Nullhypothese {0, ..., 54} gleich bleibt, wird der im Annahmebereich liegende Flächenanteil der zu p gehörigen Verteilung immer kleiner und somit die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art immer kleiner. 2. Wenn die Anzahl der Befragten im Annahmebereich liegt, wird H_0 beibehalten. Für p = p_0 = 0,3 beträgt die Wahrscheinlichkeit hierfür 100 % - 4,71 % = 95,29 %. Ist p < 0,3, so liegt die Wahrscheinlichkeitsverteilung weiter links als die Verteilung zu p_0, sodass der im Annahmebereich liegende Flächenanteil größer wird und damit die entsprechende Wahrscheinlichkeit stets über 95,29 % liegt. 3. Den Fehler 2. Art kann man für p ≤ 0,3 nicht begehen, da die Nullhypothese H_0 in diesem Fall wahr ist.

3.4 Zeichnen Sie die Fläche ein, deren Inhalt ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art darstellt, wobei die Annahme aus Aufgabe 3.3 weiterhin zugrunde gelegt wird.

Lösung: Fläche unter der zu $p_1 = 0{,}4$ gehörigen Kurve (rechte Verteilung mit Maximum bei $k=60$) für alle Werte im Annahmebereich, d. h. von $k = 0$ bis einschließlich $k = 54$.