Aufgabe Vorschlag B1 – Aufgabe 1 (1.2–1.4) · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = a \cdot t \cdot e^{-0{,}25t}$, $a \neq 0$.

Material 1

Material 2

Beim Sehnentrapezverfahren wird der Inhalt einer Fläche, die in einem Intervall vom Graphen der Funktion $g$ und der $t$-Achse eingeschlossen wird, durch den Flächeninhalt mehrerer trapezförmiger Streifen gleicher Streifenbreite angenähert. Für einen Streifen im Intervall $[a;b]$ gilt: Der Graph von $g$ wird durch eine Sehne zwischen den Punkten $P(a|g(a))$ und $Q(b|g(b))$ ersetzt. Die Flächeninhalte der jeweils entstehenden Trapeze werden berechnet und addiert.

Material 3

Die Keplersche Fassregel (nach Johannes Kepler) ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Zur Berechnung wird folgende Gleichung verwendet:

$$\int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \approx \frac{b - a}{6} \left( g(a) + 4 \cdot g\left(\frac{a + b}{2}\right) + g(b) \right)$$

1.2

Ermitteln Sie die erste Ableitung der Funktionenschar $f_a$ und zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung gilt: $$f_a''(t) = a\cdot\left(\frac{1}{16}t - \frac{1}{2}\right)\cdot e^{-0{,}25t}$$

1.3

Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunktes der Graphen der Funktionenschar $f_a$. Untersuchen Sie in Abhängigkeit vom Parameter $a$, welche Art von Extrempunkt vorliegt.

[zur Kontrolle: Die Extremstelle liegt bei $t = 4$.]

1.4

Material 1 zeigt einen Graphen der Schar. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $a$. Zeigen Sie, dass die zugehörige Funktionsgleichung auch in der Form $g(t) = t\cdot e^{1-0{,}25t}$ dargestellt werden kann.