Aufgabe Vorschlag C1.2 – Aufgabe 1 (1.1, 1.3, 1.5, 1.9) · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|3|0)$, $D(0|3|0)$, $E(0|0|3)$, $F(2|0|2)$ und $H(0|3|1)$ die Eckpunkte eines Körpers $K$ mit rechteckiger Grundfläche (siehe Material). Alle diesen Körper $K$ begrenzende Flächen sind eben.

Gegeben ist zudem die Geradenschar $g_a$:

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

1.1

Zeigen Sie, dass das Viereck $EFCH$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist. [4 BE]

1.3

Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene $J$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene. [3 BE]

Hinweis aus 1.2: Eine Koordinatengleichung der Ebene $J$ lautet $3x + 4y + 6z = 18$.

°

1.5

Der Körper $K$ ist ein Teilkörper der Pyramide $AS_xS_yE$ mit $S_x(6|0|0)$ und $S_y(0|4{,}5|0)$. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens des Körpers $K$ am Volumen der Pyramide $AS_xS_yE$. [5 BE]

%

1.9

Erläutern Sie die Ansätze und deren geometrische Bedeutungen in den Zeilen (I) und (II) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses in Zeile (III) an. [6 BE]

$$\text{(I) } \begin{pmatrix} 2 - 2a \\ 3a \\ -1 - a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \iff a = \frac{8}{17}$$

$$\text{(II) } \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{8}{17} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \implies t = \frac{51}{25}$$

$$\text{(III) } d = \left| \frac{51}{25} \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{8}{17} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \right| = \left| \begin{pmatrix} 2{,}16 \\ 2{,}88 \\ -3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{21{,}96} \approx 4{,}69$$